Menghitung Deret Geometri Tak Hingga

Bagaimana Menghitung Deret Geometri Tak Hingga? pertanyaan sederhana dari anak-anak. Pada dongeng sebelumnya ihwal barisan dan deret aritmatika dan barisan dan deret geometri sudah di ceritakan bagaimana perbedaan barisan dan deret serta perbedaan barisan aritmatika dan barisan geometri.

Seperti yang sudah disampaikan sebelumnya bahwa Suatu Deret Bilangan dikatakan sebagai Deret Geometri (DG) kalau perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ [$r$].
Contoh,

1. $2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ [DG dengan $r=2$]
2. $10-5+ \frac{5}{2} -\frac{5}{4}+ \frac{5}{8}- \cdots $ [DG dengan $r=-\frac{1}{2}$]
3. $27+ 9+ 3+ 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+ \cdots $ [DG dengan $r=\frac{1}{3}$]
4. $10+ 5+ \frac{5}{2}+ \frac{5}{4}+ \frac{5}{8}+ \cdots $ [DG dengan $r=\frac{1}{2}$]
5. $2+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+ \cdots $ [DG dengan $r=\frac{1}{4}$]

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi dua bagian, yaitu deret geometri tak hingga yang konvergen dan deret geometri tak hingga yang divergen.

Deret geometri tak hingga konvergen

Deret geometri tak hingga yang konvergen ialah deret geometri tak hingga yang mempunyai limit jumlah. Syaratnya ialah rasio kurang dari 1 dan lebih dari negatif 1. Secara simbol syarat rasio sanggup kita tulis menjadi $-1 < r < 1$ atau $\left | r \right |<1$.
Untuk menghitung jumlah deret hingga tak hingga, digunakan rumus:
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

contoh:
$27+ 9+ 3+ 1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+ \cdots $ [DG dengan $r=\frac{1}{3}$]
Limit jumlah deret ini sanggup kita tafsir, sebab kalau deret diteruskan hingga dengan $n$ tak hingga maka $U_{n}$ nilainya mendekati nol.
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{27}{\frac{2}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{27}{\frac{2}{3}}$
$S_{\infty }=\frac{81}{2}$

pola yang kedua,
$10+ 5+ \frac{5}{2}+ \frac{5}{4}+ \frac{5}{8}+ \cdots $ [DG dengan $r=\frac{1}{2}$]
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{10}{1-\frac{1}{2}}$
$S_{\infty }=\frac{10}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty }=20$

Deret geometri tak hingga divergen

Untuk deret geometri tak hingga yang divergen ialah deret geometri tak hingga yang tidak mempunyai limit jumlah. Tidak mempunyai limit jumlah kalau rasio lebih dari 1 atau kurang dari negatif 1. Secara simbol syarat rasio sanggup kita tulis menjadi $ r < -1 \vee r > 1 $ atau $ \left | r \right | > 1 $. Karena tidak mempunyai limit jumlah kalau ditanyakan jumlah deret hingga tak hingga maka jawabnya ialah $S_{\infty}= \infty$ atau $tak\ hingga$.

contoh:
$2+ 4+ 8+ 16+ 32+ \cdots $ [DG dengan $r=2$] maka $S_{\infty}= \infty$ sebab deret hingga tak hingga semakin besar sehingga penjumlahannya juga sangat besar.

Deret Geometri untuk beberapa buku menggunakan istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami deret geometri tak hingga, coba kita diskusikan beberapa pola soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

Soal Ujian Nasional 2015

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5\ m$ dan memantul kembali dengan $\frac{3}{5}$ kali tinggi sebelumnya. panjang lintasan gerak bola hingga berhenti adalah...
$(A)\ \frac{15}{2}\ m \\(B)\ \frac{25}{2}\ m \\(C)\ 15\ m \\(D)\ 20\ m \\(E)\ 25\ m$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jumlah seluruh panjang lintasan bola hingga berhenti sanggup kita hitung dengan menggunakan konsep deret geometri tak hingga. Berhenti ialah anggapan bahwa bola tidak lagi memantul dengan kata lain tidak ada lagi panjang lintasan tidak bertambah lagi kalau bola sudah berhenti. Meskipun panjang lintasan bola sanggup dihitung tetapi banyak pantulan tidak sanggup dihitung.

Tinggi bola awal $5\ m$, memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari $5\ m$ yaitu $3\ m$,
kemudian boal akan turun setinggi $3\ m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $3\ m$ yaitu $\frac{9}{5} m$,
bola turun lagi $\frac{9}{5} m$ dan memantul kembali setinggi $\frac{3}{5}$ dari $\frac{9}{5}$ yaitu $\frac{27}{25}\ m$, dan
bola turun lagi $\frac{27}{25}\ m$ hingga seterusnya dan bola berhenti.

Dari keterangan diatas kita peroleh bahwa tinggi bola pertama kita sebut suku pertam $a=5$ dan $r=\frac{3}{5}$
Panjang lintasan bola ialah
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}+\frac{3}{1-\frac{3}{5}}$
$S_{\infty }=\frac{5}{\frac{2}{5}}+\frac{3}{\frac{2}{5}}$
$S_{\infty }=\frac{25}{2}+\frac{15}{2}$
$S_{\infty }=\frac{40}{2}=20$

atau sanggup kita juga dengan cara panjang lintasan $S_{\infty }=\frac{5}{1-\frac{3}{5}}$ kita kalikan dengan $2$ kemudian dikurang $5$, sebab lintasan bola yang $5\ m$ hanya terjadi satu kali.

Soal SPMB 2004

Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga ialah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil ialah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah...
$(A)\ 4\\ (B)\ 6\\ (C)\ 8\\ (D)\ 10\\ (E)\ 12$

Alternatif Pembahasan:

Hint

bentuk umum $DG$ dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$ ialah
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+ \cdots $

Jika di bagi menjadi dua potongan yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap bentuknya menjadi,
$DG$ suku ganjil: $a+ar^{2}+ar^{4}+ar^{6}+ \cdots $
suku pertama=$a$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(ganjil)=\frac{a}{1-r^{2}}$.

$DG$ suku genap: $ar+ar^{3}+ar^{5}+ \cdots $
suku pertama=$ar$ dan $r=r^{2}$,
$S_{\infty }(genap)=\frac{ar}{1-r^{2}}$.

Pada soal disampikan bahwa jumlah semua sukunya ialah 96.
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$96=\frac{a}{1-r}$
$a=96(1-r)$

Pada soal disampaikan bahwa jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil ialah 64.
$S_{\infty }(ganjil)=\frac{a}{1-r^{2}}$
$64=\frac{a}{1-r^{2}}$
$64=\left ( \frac{a}{1-r} \right )\left ( \frac{1}{1+r} \right )$
$96 \left ( \frac{1}{1+r} \right )=64$
$3 \left ( \frac{r}{1+r} \right )=2$
$3=2 \left ( 1+r \right )$
$3r=2+2r$
$r=\frac{1}{2}$

$a=96(1-\frac{1}{2})$
$a=96(\frac{1}{2})$
$a=48$

Suku ke-4 adalah
$U_{4}=ar^{3}$
$U_{4}=48 \cdot \frac{1}{2}^{3}$
$U_{4}=48 \cdot \frac{1}{2}^{3}$
$U_{4}=\frac{48}{8}$
$U_{4}=6$

Soal UMPTN 2001

Diketahui deret geometri tak hingga $16+4+1+ \cdots $. Jika jumlah deret tersebut dikurangi dengan jumlah $n$ suku pertama, balasannya kurang dari $\frac{1}{3000}$. Nilai $n$ terkecil yang memenuhi adalah...
$(A)\ 5\\ (B)\ 6\\ (C)\ 7\\ (D)\ 8\\ (E)\ 9$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Dari deret $16+4+1+ \cdots $
$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$
$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^2 \right ) }{1-r}$

$\frac{a}{1-r}-\frac{a\left ( 1-r^n \right ) }{1-r} < \frac{1}{3000}$
$\frac{16}{1-\frac{1}{4}}-\frac{ 16 \left ( 1-\frac{1}{4}^n \right ) }{1-\frac{1}{4}} < \frac{1}{3000}$
$\frac{16}{\frac{3}{4}}-\frac{ 16-16 \left ( \frac{1}{4}\right )^n }{\frac{3}{4}} < \frac{1}{3000}$
$16-16+16\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{250}$
$16\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{250}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{4000}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^1=\frac{1}{4}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^2=\frac{1}{16}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^3=\frac{1}{64}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^4=\frac{1}{256}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^5=\frac{1}{1024}$
$\left (\frac{1}{4} \right )^6=\frac{1}{4096}$

Kaprikornus nilai $n$ terkecil supaya $\left (\frac{1}{4} \right )^n < \frac{1}{4000}$ ialah $n=6$

Semoga apa yang disampaikan sanggup bermanfaat 😁 dan maaf kalau semakin menciptakan Anda resah 😭 

Apa yang disampaikan ihwal deret geometri tak hingga diatas masihlah sangat sederhana, kalau Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 yuk mengenal salah satu matematikawan Indonesia melalui video berikut;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: