Uji Kompetensi Bentuk Akar Sma Kurikulum 2013 - Soal Dan Pembahasan [1.2]

Uji Kompetensi Bentuk Akar Sekolah Menengan Atas Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan [1.2]. Soal dari buku kurikulum 2013 yang kita coba diskusikan yaitu soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.

Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini yaitu dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, kini mari kita mulai berdiskusi wacana bentuk akar;

1a. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis setrik berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan contoh yang berulang'.

Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$

Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga kini kita hanya mencari nilai $ a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\frac{1}{2} a^{3}$

Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{4} a^{6}$

Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{12} a^{6}$

Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ a\ =\frac{1}{12} a^{6}$

$ 1\ =\frac{1}{12} a^{5}$

$ 12\ =\ a^{5}$

$ a=\sqrt[5]{12}$

1b. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Seperti soal (1a), soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ \sqrt{2}$ yang ditulis setrik berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan contoh yang berulang'

Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$

Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga kini kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$

Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ b\ =\ b^{2}-2$

$ b^{2}-b-2=0$

Bentuk diatas sudah menjadi bentuk persamaan kuadrat, untuk memilih akar persamaan kuadrat salah satunya dengan trik memfaktorkan sehingga kita peroleh:
$ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right )=0$

$ b-2=0\ atau\ b+1=0$

$ b+1=0$ sehingga $ b=-1$ tidak memenuhi alasannya akar kuadrat dari bilangan aktual kesudahannya yaitu bilangan positif.

Hasil dari soal diatas yang memenuhi yaitu $ b-2=0$ sehingga $ b=2$

1c. Tentukan nilai dari:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya yaitu $ 1+\frac{1}{\sqrt{...}}$ yang ditulis setrik berulang menjadi
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan contoh yang berulang'.

Untuk menuntaskan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}}\ =\ c$

Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c^2$

kini kita hanya mencari nilai $ c^2$,

Bentuk soal sanggup kita rubah menjadi
$ 1+\frac{1}{c}=c^2$
$ c+1=c^3$
$ c^3-c-1=0$

Sampai pada langkah ini saya kehabisan kata-kata, eksklusif saya meminta tunjangan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya yaitu bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhka nilai $ c^2=(1,3247...)^2=1,7548...$

Pemisalan soal sanggup juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal sanggup menjadi;
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$

Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c$

$ \frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c-1$

$ c \sqrt{c} - \sqrt{c} =\ 1$ (lalu dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)

$ c^3 -2c^2+c=\ 1$

$ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$

Sampai pada langkah ini saya kembali kehabisan kata-kata, dan kembali saya meminta tunjangan kepada wolframalpha dan diperoleh solusi realnya yaitu bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,7549...$

Kata sahabat (yang saya anggap teman) untuk mencari solusi $ c^3-c-1=0$ atau $ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$ sanggup diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini gres saja saya dengar.
Jika pembaca ada wangsit lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.

2. Jika $ a,b$ yaitu bilangan orisinil dengan $ a\leq b $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ yaitu bilangan rasional, tentukan pasangan (a,b) (OSN 2005/2006)

Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ yaitu bilangan rasional sehingga dpat kita tuliskan sebuah persamaan;

$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ yaitu bilangan orisinil serta $ m\ dan\ n$ keduanya relatif prima (FPB dari $ m\ dan\ n$ yaitu 1).

$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=m\sqrt{4}+m\sqrt{b}$

$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=2m+m\sqrt{b}$

$ n\sqrt{3}-2m=m\sqrt{b}-n\sqrt{a}$

$ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^2$

$ 3n^2+4m^2-4mn\sqrt{3}=m^2b+n^2a-2mn\sqrt{ab}$

Karena $ a, b, m, n$ semuanya yaitu bilangan orisinil maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ yaitu $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$

Jika $ a=1\ dan\ b=12$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\frac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)

Jika $ a=2\ dan\ b=6$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Jika $ a=3\ dan\ b=4$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Pasangan (a,b) yaitu (1,12)

3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$

$ \frac{\sqrt[3]{b c^\frac{1}{2}}}{\sqrt{c a^\frac{1}{3}}}=abc$

$ \frac{b^{\frac{1}{3}} c^\frac{1}{6}}{c^{\frac{1}{2}} a^\frac{1}{6}}=abc$

$ \frac{b^\frac{1}{3}}{b}=\frac{a\cdot a^\frac{1}{6}\cdot c\cdot c^\frac{1}{2}}{c^\frac{1}{6}}$

$ b^\frac{-2}{3}=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}$

$ b^\frac{-2}{3}=a^\frac{7}{6}\cdot c^\frac{4}{3}$

$ b=a^\frac{-21}{12}\cdot c^\frac{-12}{6}$

$ b=a^\frac{-7}{4}\cdot c^{-2}$

4.Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
kita coba sederhanakan dengan menggunakan sifat
$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau
$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$

$ =\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$

$ =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}$

$ =\sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}}$

$ =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$

$ =\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

$ =\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}}$

$ =\sqrt{3} -\sqrt{2}$

5. tentukan nilai a dan b dari:
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk mencoba menuntaskan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan trik merasionalkan penyebut;

$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$

$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$

$ ... $

$ \frac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$

$ \frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$

Dari bentuk yang sudah disederhanakan diatas bila kita jumlahkan menyerupai soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\sqrt{5}- ...-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$

$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$

$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$

dengan melihat hasil selesai dan yang diminta soal yaitu $ \sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai a yaitu 1.000.001 dan b yaitu 2

6. Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk meyelesaikan soal ini konsep dasar yang kita pakai sama dengan konsep yang digunakan pada soal nomor 4 yaitu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}$ atau $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}$

$ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}$

$ =\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}}$

$ =\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7}$

$ =12$

7. Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$, tentukan nilai x-y.

Alternatif Pembahasan:

Hint

$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$
Soal sederhana diatas dengan sedikit kreatifitas sanggup kita selesaikan, soal sanggup kita rubah bentuk menjadi sebagai berikut;
$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^2-3^2 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^4-3^4 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^8-3^8 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$ \left ( 4^x-3^y \right ) = \left ( 4^{64}-3^{64} \right )$

$ x=64\ dan\ y=64 \Rightarrow x-y=0$

Mohon perbaikan bila ada yang salah dan bila Anda punya alternatif pembahasan tidak ada salahnya kita berbagi, mari berdiskusi 😊

Contoh Proses Belajar Mengajar yang dianjurkan pada Kurikulum 2013, mungkin video berikut sanggup membantu kita dalam penerapan kurikulum 2013;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: