Sifat Logaritma Ini Sangat Istimewa

Logaritma ialah kebalikan dari bilangan perpangkat, dalam bahasa tetangga disampaikan 'inverse exponential functions is called the logarithmic function'.

Sebelum kepada sifat-sifat logaritma, coba kita singgung sedikit ihwal istilah kebalikan dari bilangan berpangkat.
Kita pilih dari bentuk bilangan berpangkat yang sederhana yaitu $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $

Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $,

• untuk mendapat bilangan ${\color{Blue} 2}$ dengan memakai bilangan ${\color{Red} 3}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan ialah akar, penulisan operasinya ialah $ \sqrt[{3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$
• untuk mendapat bilangan ${\color{Red} 3}$ dengan memakai bilangan {\color{Blue} 2}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan ialah logaritma, penulisan operasinya ialah $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Makara kebalikan dari bilangan berpangkat bukan hanya logaritma tetapi juga akar.

Nach kesimpulan yang sanggup kita ambil adalah:

• jikalau $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ maka $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ dan
• jika $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ maka $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $.

Dalam bahasa logika matematika sanggup dituliskan:
$ {\color{Blue} 2}^{3}={\color{Green} 8} $ jikalau dan hanya jikalau $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Bentuk umum logaritma sanggup kita tuliskan sebagai berikut;
$^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ jikalau dan hanya jikalau $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b} $.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang mayoritas berbahasa Inggris penulisan logaritma ialah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$.

Bentuk $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ atau $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$ dibaca: logaritma dari $ {\color{Green} b}$ dengan bilangan pokok $ {\color{Blue} a}$ ialah ${\color{Red} c}$. Tetapi untuk memudahkan pengucapan sering hanya disebut "a log b = c".

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$

• $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ ialah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a} \neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ sanggup tidak dituliskan.
• $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ ialah $ {\color{Green} b} \gt 0$
• ${\color{Red} c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, kini kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

1. $^{a}\textrm{log}\ a=1$ alasannya ialah $ a^{0}=1$
2. $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ alasannya ialah $ a^{1}=a$
3. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
4. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \frac{x}{y} $
5. $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
6. $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
7. $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
8. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
9. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
10. $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
11. $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $

Mungkin dengan mengenal beberapa sifat logaritma diatas sudah sanggup mendekatkan kita kepada logaritma. Sama halnya dengan kita mengenal seseorang, semakin kita mengenali sifat-sifatnya maka kita sanggup semakin erat kepada seseorang tersebut.

Pembuktian beberapa sifat logaritma diatas sanggup kita temui pada buku matematika Sekolah Menengan Atas atau buku-buku bank soal matematika.

Tetapi untuk sifat nomor 11, sifat logaritma yang aku katakan sangat istimewa $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $ alasannya ialah hampir semua buku matematika Sekolah Menengan Atas tidak menyebutkannya apalagi membuktikannya.

Sekarang coba kita mengambarkan kebenaran sifat logaritma tersebut;
$ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Kita misalkan $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=y$
kemudian kedua ruas kita berikan logaritma, bentuknya menjadi,
$ log\ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=log\ y$
degan memakai sifat (5) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ ^{b}\textrm{log}\ c\ log\ a=log\ y$
kemudian dengan menggunkan sifat (8) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ \frac{log\ c}{log\ b}\ log\ a=log\ y$
perubahan berikutnya,
$ \frac{log\ a}{log\ b}\ log\ c=log\ y$
$ ^{b}\textrm{log}\ a\ log\ c=log\ y$
$ log\ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=log\ y$
$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}= y$
Bentuk diatas kita kembalikan ke pemisalan awal $ y=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$
Bentuk final yang kita peroleh mungkin sudah sanggup sebagai bukti sederhana,$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$

Sifat logaritma yang istimewa ini, diperoleh ketika diskusi bersama rekan guru matematika ketika akan dilaksanakan Olimpiade Guru Tingkat Provinsi beberapa tahun lalu.

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mari kita coba berguru geogebra dasar;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: