Belajar soal dan Pembahasan OSN Tingkat Kabupaten Matematika SMP. Sebelum kita berguru soal dan pembahasannya, kita simak curhatan beberapa penggemar matematika perihal soal osk matematika tahun 2017 ini 😏 Tutur widodo 😊 Sementara, soal dipangkas menjadi 10+5 dengan waktu pengerjaan [yang cukup lama] 2 jam. Jika ternyata banyak nilai manis yg kembar [peluang terjadinya dengan denah ketika ini sangat besar] katakanlah ada skor tertinggi 75 sebanyak 5 siswa. Bagaimana akan diseleksi.
Yang patut disayangkan [dengan hanya sedikit soal] masih saja ada soal yg salah [option balasan tidak ada]. Saya berpikir, apa iya segitunya sih cuma soal 15 saja tidak ada kroscek berkali kali untuk memastikan bahwa kualitas soalnya ok. Apa mungkin pembuatan soalnya sukarela dan gratis [tdk ada anggaran]? Tapi tampaknya tidak. Ah, entahlah.
Sabar Sitanggang 😊 Saya sudah keluhkan semenjak tahun lalu, ketika kualitas soal "copy-paste".
Tampaknya, kedepannya perlu lebih sering tekanan ke pihak terkait perihal hal ini. Mathcount, dan lomba sejenis di Amerika dan beberapa negara Balkan, misalnya, cukup progresif. Kita kok level cp! Konkretnya, mungkin perlu bertemu Menteri untuk sampaikan petisi perihal kualitas soal. Tuan Ridwan Hasan Saputra mungkin sanggup fasilitasi silaturrahim ke Prof. Muhajir untuk hal ini. Delegasi yang saya ingat layak bertemu Pak Menteri selain Ridwan Hasan sendiri antara lain: Tutur Widodo, Eddy Hermanto, Saiful Arif, Rudi Prihandoko, dan Aleams Barra. [Mohon ditambahkan!] Saya hanya bantu biar sanggup bertemu saja.
Sebenarnya masih banyak lagi yang mengeluarkan unek-uneknya perihal soal OSK matematika tahun ini, tetapi secara umum pendapat dari bapak Tutur Widodo dan bapak Sabar Sitanggang diatas sudah cukup mewakili.
Semoga saja kualitas soal OSN tingkat kabupaten khususnya soal matematika untuk tahun depan ada perbaikan, supaya para penggemar matematika di Indonesia kecewanya tidak berlarut-larut.
Kira-kira menyerupai apa soal yang mendapat kriktikan dari pecinta soal-soal olimpiade matematika ini, mari kita simak 😏
Soal dan Pembahasan Pilihan Ganda
1. Misalkan $n$ ialah suatu bilangan bundar positif. Jumlah tiga bilangan prima $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ adalah...
A. 12
B. 14
C. 15
D. 17
Hint
Dikatakan bahwa $n$ ialah bilangan bulat, dan $3n-4$, $4n-5$, dan $5n-3$ bilangan prima, maka pribadi kita uji untuk nilai $n$ bilangan bulat.
- untuk $n=0$ maka;
$3n-4=-4$ $(Tidak\ Memenuhi)$,
$4n-5=-5$ $(Tidak\ Memenuhi)$, dan
$5n-3=-3$ $(Tidak\ Memenuhi)$ - untuk $n=1$ maka;
$3n-4=-1$ $(Tidak\ Memenuhi)$,
$4n-5=-1$ $(Tidak\ Memenuhi)$, dan
$5n-3=2$ $(Memenuhi)$ - untuk $n=2$ maka;
$3n-4=2$ $(Memenuhi)$,
$4n-5=3$ $(Memenuhi)$, dan
$5n-3=7$ $(Memenuhi)$
2.Diketahui $a$ dan $b$ ialah dua bilangan bundar positif, serta $b$ merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada $2017$. Jika $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{12}$ maka pasangan bilangan $\left ( a,b \right )$ yang mungkin ada sebanyak...
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
Hint
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{12}$
$\frac{b+4a}{ab}=\frac{1}{12}$
$12b+48a=ab$
$ab-48a-12b=0$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )-12 \cdot 48=0$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=12 \cdot 48$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{2}\cdot3\cdot2^{4} \cdot3$
$\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$
Karena $b$ merupakan bilangan ganjil maka bentuk perkalian ruas kanan yang mungkin adalah
- $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2} \cdot 3^{0}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{0}$ - $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{1} \cdot 3^{1}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}\cdot 3^{1}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{1}$ - $\left ( a-12 \right )\left ( b-48 \right )=2^{6}\cdot 3^{2}$
dengan $\left ( a-12 \right )=2^{6}$ dan $\left ( b-48 \right )=3^{2}$
3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari $100\ m$ yang diikuti oleh tiga siswa $A$, $B$, dan $C$. Berdasarkan grafik tersebut, pernyataan yang benar adalah...
A. Pelari $C$ selalu berlari paling depan.
B. Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis.
C. Pelari $A$ paling cepat berlari hingga ke garis finis.
D. Pelari $B$ memenangi lomba alasannya berlari dengan kecepatan konstan.
Hint
- A. Pelari $C$ selalu berlari paling depan. $\Salah$, alasannya dari grafik pada detik ke-14 $(sekitar)$ pelari $B$ dan $C$ sudah melewati $A$.
- B. Pelari $B$ disusul oleh $C$ sebelum garis finis. $\Benar$, alasannya dari grafik pelari $C$ lebih dahulu hingga dari $B$ meskipun sebelum detik ke-14 $(sekitar)$ pelari $B$ selalu di depan $C$.
- C. Pelari $A$ paling cepat berlari hingga ke garis finis. $\Salah$, alasannya dari grafik pelari $A$ tidak hingga finis.
- D. Pelari $B$ memenangi lomba alasannya berlari dengan kecepatan konstan. $\Salah$, alasannya dari grafik yang memenangi lomba ialah pelari $C$.
4. Jika bilangan bundar positif $x$ dan $y$ merupakan solusi sistem persamaan
$x+2y=p+6$
$2x-y=25-2p$
linear maka banyak nilai $p$ adalah...
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Hint
$x+2y=p+6$...$(pers.1)$
$2x-y=25-2p$...$(pers.2)$
Solusi sistem persamaan linear kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$
$x+2y=p+6$ |$\times 2$
$2x-y=25-2p$ |$\times 1$
------------------------------
$2x+4y=2p+12$
$2x-y=25-2p$ _
------------------------------
$5y=4p-13$
$y=\frac{4p-13}{5}$
Karena nilai $y$ harus bilangan bundar positif,
maka nilai $p> \frac{13}{4}$ dan $4p-13$ harus kelipatan 5.
Nilai $p$ yang memenuhi ialah $7,12,17,22,...$
$x+2y=p+6$ |$\times 1$
$2x-y=25-2p$ |$\times 2$
------------------------------
$x+2y=p+6$
$4x-2y=50-4p$ +
------------------------------
$5x=56-3p$
$x=\frac{56-3p}{5}$
Karena nilai $x$ harus bilangan bundar positif,
maka nilai $p<18$ dan $56-3p$ harus kelipatan 5.
Nilai $p$ yang memenuhi ialah $17, 12, 7, 2, ...$
Nilai $p$ yang memenuhi untuk $ x $ dan $ y $ ialah $ 7,12,17$ dan $ p $ yang diinginkan ialah banyaknya yaitu $3$. $\B$
5. Diketahui fungsi $f$ memenuhi persamaan $5f\left( \frac{1}{x} \right)+\frac{f(2x)}{x^{2}}=x$, untuk $x≠0$. Nilai $f \left( 1 \right)$ sama dengan...
A. $\frac{3}{7}$
B. $\frac{3}{14}$
C. $\frac{3}{18}$
D. $\frac{1}{7}$
Hint
$5f\left( \frac{1}{x} \right)+\frac{f(2x)}{x^{2}}=x$
Untuk $x=1$
$5f\left( \frac{1}{1} \right)+\frac{f(2 \cdot 1)}{1^{2}}=1$
$5f\left( 1 \right)+\frac{f(2)}{1}=1$
$5f(1)+f(2)=1$ ... [pers.1]
Selanjutnya untuk menentukan nilai $x$ bergotong-royong ialah sembarang asal tidak melanggar syarat $x≠0$.
Tetapi alasannya untuk $x=1$ terdapat variabel $f(1)$ dan $f(2)$ maka kita usahakan pemilihan nilai $x$ berikutnya akan memunculkan variabel $f(1)$ dan $f(2)$.
Untuk $x=\frac{1}{2}$
$5f\left( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\frac{f \left(2 \cdot \frac{1}{2} \right)}{\left(\frac{1}{2} \right)^{2}}=\frac{1}{2}$
$5f\left( \frac{1}{\frac{1}{2}} \right)+\frac{f \left(1 \right)}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ ... [pers.2]
Lalu Eliminasi atau substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$
$5f(1)+f(2)=1$ |$\times 5$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ |$\times 1$
---------------------------------
$25f(1)+5f(2)=5$
$5f(2)+4f(1)=\frac{1}{2}$ _
---------------------------------
$21f(1)=\frac{9}{2}$
$f(1)=\frac{3}{14}$ $\B$
6. Pada jajar genjang $ABCD$, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama ialah $4\ cm$ dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya ialah $9\ cm$. Luas jajar genjang $ABCD$ adalah...
A. minimal $36\ cm^{2}$.
B. tepat $36\ cm^{2}$.
C. maksimal $36\ cm^{2}$.
D. Antara $36\ cm^{2}$ dan $81\ cm^{2}$.
Hint
Untuk menghitung luas jajaran genjang sama dengan menghitung luas persegi panjang alasannya jajar genjang ialah persegi empat, yaitu $alas \times tinggi$
Jika pada jajar genjang kita beri titik $E$ pada $AB$ sehingga $DE$ ialah garis tinggi.
Sehingga berlaku $AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}$
$AD^{2}=4^{2}+DE^{2}$
$AD^{2}=16+DE^{2}$
$AD=\sqrt{4^{2}+DE^{2}}$
maka dari persamaan diatas sanggup kita simpulkan nilai $AD>4$ sehingga luas jajar genjang dengan bantalan $AD$ dan tinggi $9\ cm$ adalah,
$\left [ABCD \right ]=AD \times 9$
$\left [ABCD \right ]>36$
Jika pada jajar genjang kita beri titik $F$ pada $AD$ sehingga $BF$ ialah garis tinggi.
Sehingga berlaku $AB^{2}=BF^{2}+AF^{2}$
$AB^{2}=BF^{2}+AF^{2}$
$AB^{2}=9^2+AF^{2}$
$AB=\sqrt{9^{2}+AF^{2}}$
maka dari persamaan diatas sanggup kita simpulkan nilai $AB>9$ sehingga luas jajar genjang dengan bantalan $AB$ dan tinggi $4\ cm$ adalah,
$\left [ABCD \right ]=AB \times 4$
$\left [ABCD \right ]>36$
Saat jajar genjang membentuk empat persegi panjang dengan jarak antara sepasang sisi sejajar ialah $4\ cm$ dan $9\ cm$ maka luas jajar genjang ialah $ 36 cm^{2}$.
Kesimpulan selesai luas jajar genjang ialah Minimal $36 cm^{2}$ $\A$
7. Lingkaran pada gambar berikut memiliki radius $1$ satuan panjang dan $\angle DAB=30^{\circ}$. Luas tempat trapesium $ABCD$ yang diarsir adalah...
A. $\frac{1}{2}$.
B. $1$.
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
D. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Hint
Untuk mempermudah pengucapan kita beri beberapa titik suplemen pada gambar,
Titik sentra lingkaran kita beri nama titik $O$
Pada garis $AB$ kita beri titik $E$ dimana $DE=BC$, sehingga kita peroleh persegi panjang $DEBC$ dan segitiga siku-siku $AED$
Karena $\bigtriangleup ABC$ ialah segitiga siku-siku maka berlaku;
$sin\ 30^{\circ}=\frac{DE}{AD}$
$\frac{1}{2}=\frac{DE}{2}$
$DE=1$
$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$
$AE^{2}+1^{2}=2^{2}$
$AE^{2}=3$
$AE=\sqrt{3}$
Kita perhatikan kembali $\bigtriangleup ODE$ ialah segitiga sama sisi, sehingga berlaku;
$OD^{2}=OF^{2}+DF^{2}$
$1^{2}=OF^{2}+\left (\frac{1}{2} \right )^{2}$
$1=OF^{2}+\frac{1}{4}$
$OF^{2}=1-\frac{1}{4}$
$OF=\sqrt{\frac{3}{4}}$
$OF=\frac{1}{2} \sqrt{3}$
dari hasil perhitungan diatas sanggup kita peroleh panjang $CD$,
$CD=1-\frac{1}{2} \sqrt{3}$
Luas $ABCD$=Luas $ADE$ + Luas $BCDE$
$ \left [ABCD \right ]=\left [ADE \right ]+\left [BCDE \right ] $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} AE \cdot ED + CD \cdot BC $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 1 + \left (1-\frac{1}{2} \sqrt{3} \right ) \cdot 1 $
$ \left [ABCD \right ]=\frac{1}{2} \sqrt{3} + 1-\frac{1}{2} \sqrt{3} $
$ \left [ABCD \right ]= 1 $ $\B$
8. Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=12$ dan $BC=5$. Panjang lintasan $DPQB$ pada gambar berikut adalah...
A. $\frac{119}{13}$
B. $\frac{120}{13}$
C. $\frac{214}{13}$
D. $\frac{239}{13}$
Hint
$ABCD$ ialah persegi panjang sehingga berlaku $BQ=DP$ dan $CQ=AP$
$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
$AC^{2}=12^{2}+5^{2}$
$AC^{2}=144+25$
$AC=13$
Luas $ABCD$ sanggup kita hitung, yaitu;
$AB \cdot BC = 2 \cdot \left [ABC \right ]$
$12 \cdot 5 = 2 \cdot \frac{1}{2} AC \cdot BQ$
$60 = 13 \cdot BQ$
$BQ = \frac{60}{13}$
$DP = \frac{60}{13}$
Sekarang kita coba hitung panjang $PQ$, dari $\bigtriangleup BQC$
$BC^{2}=CQ^{2}+BQ^{2}$
$5^{2}=CQ^{2}+\left (\frac{60}{13} \right )^{2}$
$CQ^{2}=5^{2}-\left (\frac{60}{13} \right )^{2}$
$CQ^{2}=\left (5+\frac{60}{13} \right ) \left (5-\frac{60}{13} \right )$
$CQ^{2}=\left (\frac{65+60}{13} \right ) \left (\frac{65-60}{13} \right )$
$CQ^{2}=\left (\frac{125}{13} \right ) \left (\frac{5}{13} \right )$
$CQ^{2}=\frac{625}{169}$
$CQ=\frac{25}{13}$
$PQ=AC-2 \cdot CQ$
$PQ=13-2 \cdot \frac{25}{13}$
$PQ=13- \frac{50}{13}$
Panjang lintasan
$DPQB=DP+PQ+QB$
$DPQB=\frac{60}{13}+13- \frac{50}{13}+\frac{60}{13}$
$DPQB=\frac{70}{13}+13$
$DPQB=\frac{239}{13}$ $\D$
9. Diketahui $M=\left \{ 10,11,12,13, \cdots ,99 \right \}$ dan $A$ ialah himpunan bab $M$ dari yang memiliki $4$ anggota. Jika jumlah semua anggota $A$ merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan $A$ yang mungkin adalah...
A. $1.980$
B. $148.995$
C. $297.990$
D. $299.970$
Hint
Anggota himpunan A ada sebanyak 4 dan jumlah keempatnya ialah bilangan genap.
Jumlah 4 bilangan ialah bilangan genap terjadi dari beberap kemungkinan,
- Keempat bilangan tersebut ialah bilangan genap
- Dua ialah bilangan genap dan dua ialah bilangan ganjil
- Keempat bilangan tersebut ialah bilangan ganjil
Karena $A$ ialah himpunan bab dari $M=\left (10,11,12,13, \cdots ,99 \right )$, maka banyak anggota $A$ yang mungkin adalah,
- Keempat bilangan tersebut ialah bilangan genap
$M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
$n \left (M_{genap} \right )=45$
Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan genap adalah,
$n \left (A \right )=C_{4}^{45}$
$n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
$n \left (A \right )=148.995$ - Dua ialah bilangan genap dan dua ialah bilangan ganjil
$M_{genap}=\left (10,12,14, \cdots ,98 \right )$
$n \left (M_{genap} \right )=45$
$M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$
$n \left (M_{ganjil} \right )=45$
Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 2 bilangan genap dan 2 bilangan ganjil adalah,
$n \left (A \right )=C_{2}^{45} \cdot C_{2}^{45}$
$n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 }{2 \cdot 1} \cdot \frac {45 \cdot 44}{2 \cdot 1}$
$n \left (A \right )=990 \cdot 990$
$n \left (A \right )=980.100$ - Keempat bilangan tersebut ialah bilangan ganjil $M_{ganjil}=\left (11,13,15, \cdots ,99 \right )$ $n \left (M_{ganjil} \right )=45$ Banyak anggota $A$ yang beranggotakan 4 bilangan ganjil adalah, $n \left (A \right )=C_{4}^{45}$ $n \left (A \right )=\frac {45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ $n \left (A \right )=148.995$
$148.995+980.100+148.995=1.278.090$ $\-$
10. Dari $4$ pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ dan $x_{4}$. Jika jangkauan data tersebut ialah $16$, $x_{1}=\frac{1}{6}median$, $x_{2}=\frac{1}{2}median$, dan $x_{3}=x_{4}$, maka nilai rata-rata data tersebut adalah...
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
Hint
Data $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sudah terurut dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Maka data-data yang sanggup kita peroleh antara lain;
- $J=x_{4}-x_{1}$
$16=x_{4}-x_{1}$ - $Me= \frac {x_{2}+x_{3}}{2}$ dan $x_{3}=x_{4}$
- $x_{1}=\frac{1}{6}\ Median$
$x_{1}=\frac{1}{6} \left (\frac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
$x_{1}=\frac {x_{2}+x_{3}}{12}$ - $x_{2}=\frac{1}{2}\ Median$
$x_{2}=\frac{1}{2} \left (\frac {x_{2}+x_{3}}{2} \right )$
$x_{2}=\frac {x_{2}+x_{3}}{4}$
$4x_{2}=x_{2}+x_{3}$
$3x_{2}=x_{3}$ - $x_{4}-x_{1}=16$
$x_{3}-\frac {x_{2}+x_{3}}{12}=16$
$3x_{2}-\frac {x_{2}+3x_{2}}{12}=16$
$3x_{2}-\frac {4x_{2}}{12}=16$
$3x_{2}-\frac {x_{2}}{3}=16$
$\frac {9x_{2}}{3}-\frac {x_{2}}{3}=16$
$8x_{2}=48$
$x_{2}=6$ - $3x_{2}=x_{3}$
$3 \cdot 6=x_{3}$
$x_{3}=18$
$x_{4}=18$ - $x_{1}=\frac {x_{2}+x_{3}}{12}$
$x_{1}=\frac {6+18}{12}$
$x_{1}=2$
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}$
$\bar{x}=\frac{2+6+18+18}{4}$
$\bar{x}=\frac{44}{4}$
$\bar{x}=11$ $\B$
Soal dan Pembahasan Isian Singkat
1. Diketahui $n$ dan $k$ ialah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai $k$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$, maka nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah...
Hint
Untuk mengerjakan pertidaksamaan, kita coba dengan menyamakan penyebut penggalan dengan tidak merubah nilai pecahan
$\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$ Kasus 1
$\frac{8}{15}\cdot\frac{13}{13}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}\cdot\frac{15}{15}$ $\frac{104}{195} < \frac{n}{n+k} < \frac{105}{195}$ dari pertidaksamaan diatas jikalau kita anggap $ n+k=195 $ maka $ 104 < n < 105 $. Untuk nilai $ n $ bilangan bundar tidak ada yang memenuhi $ 104 < n < 105$. Pertidaksamaan $\frac{104}{195} < \frac{n}{n+k} < \frac{105}{195}$ kita ubah lagi menjadi; $\frac{208}{390} < \frac{n}{n+k} < \frac{210}{390}$ dari pertidaksamaan diatas jikalau kita anggap $ n+k=390 $ maka $ 208 < n < 210$. Untuk nilai $n$ bilangan bundar yang memenuhi $ 208 < n < 210$ ialah $ 209 $. Kita uji apakah untuk nilai $ n=209 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi, $\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{8}{15} < \frac{209}{209+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{13}{7} < \frac{209+k}{209} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+ \frac{k}{209} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{209} < \frac{7}{8}$ $\frac{6 \cdot 209 }{7} < k < \frac{7 \cdot 209}{8}$ $\frac{1254}{7} < k < \frac{1463}{8}$ $179\frac{1}{7} < k < 182\frac{7}{8}$ bilangan bundar $k$ yang memenuhi ialah $ 180 $, $ 181 $, dan $ 182 $ sedangkan pada soal yang dinginkan ialah tepat satu nilai $k$ yang memenuhi. Kasus 2
$\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13} $ $\frac{13}{7} < \frac{n+k}{n} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+\frac{k}{n} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{n} < \frac{7}{8}$ $\frac{6}{7} \cdot \frac{8}{8} < \frac{k}{n} < \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{7}$ $\frac{48}{56} < \frac{k}{n} < \frac{49}{56}$ $\frac{96}{112} < \frac{k}{n} < \frac{98}{112}$ dari pertidaksamaan diatas jikalau kita anggap $ n=112 $ maka $ 96 < k < 98 $, nilai $ k $ bilangan bundar yang memenuhi ialah $ 97 $ Kita uji apakah untuk nilai $ n=112 $ hanya ada satu nilai $ k $ yang memenuhi, $\frac{8}{15} < \frac{n}{n+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{8}{15} < \frac{112}{112+k} < \frac{7}{13}$ $\frac{13}{7} < \frac{112+k}{112} < \frac{15}{8}$ $\frac{13}{7} < 1+\frac{k}{112} < \frac{15}{8}$ $\frac{6}{7} < \frac{k}{112} < \frac{7}{8}$ $\frac{6}{7} \cdot \frac{16}{16} < \frac{k}{112} < \frac{7}{8} \cdot \frac{14}{14}$ $\frac{96}{112} < \frac{k}{112} < \frac{98}{112}$ dari pertidaksamaan diatas alasannya penyebut sudah sama yaitu $112$ maka nilai $k$ yang memenuhi $ 96 < k < 98 $ hanya $ 97 $ Kesimpulan nilai $ n $ terbesar yang mungkin ialah $ 112 $
2. Nilai $1+2 \cdot 2+3 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2^{3}+5 \cdot 2^{4}+ \cdots+2018 \cdot 2^{2017}$ sama dengan...
Hint
Misal soal kita misalkan dengan $P$.
$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan 2 sehingga kita peroleh;
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$
$P=1+2\cdot 2+3\cdot 2^{2}+4\cdot 2^{3}+\cdots +2018\cdot 2^{2017}$
$2P=2+2\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{4}+\cdots +2018\cdot 2^{2018}$ $-$
-----------------------------------------------------------------------------------
$P-2P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$-P=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017}-2018\cdot 2^{2018}$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2017} \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-\left (2^{2018}-1 \right )$
$P=2018\cdot 2^{2018}-2^{2018}+1$
$P=2^{2018}\left (2018-1 \right )+1$
$P=2^{2018}\left (2017 \right )+1$
$P=2017\cdot 2^{2018}+1$
3. Diketahui $p,q,r,s$ ialah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan $r$ dan $s$ ialah solusi persamaan $x^{2}+px+q=0$ serta bilangan $p$ dan $q$ ialah solusi persamaan $x^{2}+rx+s=0$. Nilai $p+q+r+s$ sama dengan...
Hint
Pada soal disampaikan solusi $x^{2}+px+q=0$ ialah $r$ dan $s$ sehingga berlaku
$r+s=-p$
$rs=q$
Lalu solusi solusi $x^{2}+rx+s=0$ ialah $p$ dan $q$ sehingga berlaku
$p+q=-r$
$pq=s$
$r+s=-p$
$p+q=-r$ $-$
---------------------
$r+s-p-q=-p+r$
$s=q$
$rs=q$
$rq=q$
$r=1$
$pq=s$
$ps=s$
$p=1$
$r+s=-p$
$p+q=-r$ $+$
---------------------
$p+q+r+s=-p-r$
$p+q+r+s=-\left (p+r \right )$
$p+q+r+s=-\left (1+1 \right )$
$p+q+r+s=-2$
4. Misalkan $ADEN$ dan $BMDF$ sebuah persegi dengan $F$ merupakan titik tengah $AD$. Luas segitiga $CDE$ ialah $6$ satuan luas. Luas segitiga $ABC$ adalah...
Hint
Misal;
$BM=DM=x$ sehingga $DE=AD=2x$
Luas $\bigtriangleup BME=\frac{1}{2} ME \cdot BM$
$\left [BME \right ]=\frac{1}{2} 3x \cdot x$
$\left [BME \right ]=\frac{3}{2} x^{2}$
Luas $BMDC$= Luas $\bigtriangleup BME$ $-$ Luas $\bigtriangleup BME$
$\left [BMDC \right ]=\frac{3}{2} x^{2}-6$
Luas $ \bigtriangleup BCF$= Luas $BMDF$ $-$ Luas $BMDC$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\left (\frac{3}{2} x^{2}-6 \right )$
$\left [BCF \right ]=x^{2}-\frac{3}{2} x^{2}+6$
$\left [BCF \right ]=6-\frac{1}{2} x^{2}$
Luas $\bigtriangleup ABF=\frac{1}{2} AF \cdot BF$
$\left [ABF \right ]=\frac{1}{2} x \cdot x$
$\left [ABF \right ]=\frac{1}{2} x^{2}$
Luas $\bigtriangleup ABC$ = Luas $\bigtriangleup ABF$ $+$ Luas $ \bigtriangleup BCF$
$\left [ABC \right ]=6-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{2}$
$\left [ABC \right ]=6$
5. Tersedia $10$ loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa $4$ orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari $4$ orang sebelumnya adalah...
Hint
E: Kejadian 4 orang pertama dilayani di loket yang berbeda dan orang kelima pada loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya.
$n \left ( P_{1} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan I.
$n \left ( P_{1} \right )=10$
$n \left ( P_{2} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan II.
$n \left ( P_{2} \right )=9$
$n \left ( P_{3} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan III.
$n \left ( P_{3} \right )=8$
$n \left ( P_{4} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan IV.
$n \left ( P_{4} \right )=7$
$n \left ( P_{5} \right )$: Banyak pilihan loket Pelanggan V.
$n \left ( P_{5} \right )=4$
$n\left ( E \right )=n \left ( P_{1} \right )\cdot n \left ( P_{2} \right )\cdot n \left ( P_{3} \right )\cdot n \left ( P_{4} \right )\cdot n \left ( P_{5} \right )$
$n\left ( E \right )=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4$
$n\left ( S \right )=10^{5}$
Peluang Kejadian $E$ adalah;
$P\left ( E \right )=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 4}{10^{5}}$
$P\left ( E \right )=\frac{126}{625}$
Referensi dan klasifikasi dari pembahasan soal diatas dibantu oleh dua guru matematika yang keren yaitu Pak Anang dan Pak Syukri Lukman. Untuk melihat hasil kreativitas mereka secara pribadi sanggup melihat pribadi di blog mereka yaitu syukrimath.blogspot.com.
Pembahasan soal diatas masih jauh dari tepat jikalau ada yang sesuatu hal yang ingin disampaikan atau kita diskusikan mari beropini 😏
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bilangan prima terbesar itu kira-kira berapa ya?
0 Response to "Soal Dan Pembahasan Osn 2017 Tingkat Kabupaten Matematika Smp"
Post a Comment