Pak, berapakah $sin\ 18^{\circ} ?$. Pertanyaan ini mengingatkanku pada bapak Benny Yong beberapa tahun yang lalu, yang pertama kali memperkenalkan bagaimana menghitung $sin\ 18^{\circ}$.Selain menghitung $sin\ 18^{\circ}$, bapak Benny Yong juga memperkenalkan beberapa istilah dalam matematika, ada Eksplorasi, Telescoping, Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), Quadratic Means (QM), Pertidaksamaan Cauchy, Pertidaksamaan Renata dan lain sebagainya.
Sebelum kita coba menghitung nilai $sin\ 18^{\circ} $. Kita sudah mengetahui kisaran nilai yaitu $0\ <\ sin\ 18\ <\ 1 $ dan beberapa data pendukung, antara lain;
- $sin\ a=cos\ \left ( 90-a \right ) $
- $sin\ \left ( a+b \right )=sin\ a\ cos\ b\ +\ Sin\ b\ cos\ a $
- $cos\left ( a+b \right )=cos\ a\ cos\ b\ -\ sin\ a\ sin\ b $
- $sin^{2}a+cos^{2}a=1 $
$sin\ 18$ memiliki korelasi (sudut berelasi) dengan $sin\ 36,\ sin\ 54,\ cos\ 36,\ dan\ cos\ 54$.
Dari beberapa sudut berelasi diatas kita gunakan beberapa, yaitu $cos\ 36,\ dan\ sin\ 54$
$cos\ 36=cos\ \left (18+18 \right )$
$cos\ 36=cos^{2}18-sin^{2}18 $
$cos\ 36=\left (1-sin^{2}18 \right )-sin^{2}18 $
$cos\ 36=1-2sin^{2}18$
$sin\ 54=\left ( 18+36 \right ) $
$sin\ 54=sin\ 18\ cos\ 36\ +\ Sin\ 36\ cos\ 18$
$sin\ 54=sin18 \left(1-2sin^{2}18 \right)+\left(2sin18\cos18\right)cos18$
$sin\ 54=sin\ 18\ -2sin^{3}18 +\ 2sin\ 18\ cos^{2} 18$
$sin\ 54=sin\ 18\ -2sin^{3}18 +\ 2sin\ 18\ \left (1-sin^{2}18 \right )$
$sin\ 54=sin\ 18\ -2sin^{3}18 +\ 2sin\ 18\ -2sin^{3}18$
$sin\ 54=3sin\ 18\ -4sin^{3}18$
Berikut kita samakan;
$cos\ 36=sin\ 54$
$1-2sin^{2}18=3sin\ 18\ -4sin^{3}18$
Untuk mempermudah penulisan, kita misalkan saja $sin\ 18\ =\ p$
$1-2sin^{2}18=3sin\ 18\ -4sin^{3}18$
$1-2p^{2}=3p -4p^{3}$
$4p^{3}-2p^{2}-3p+1=0$
$\left (4p^{2}+2p-1 \right )\left (p-1 \right )=0$
Untuk $\left (p-1 \right )=0$ Tidak Memenuhi (TM) sebab dari persamaan ini kita peroleh nilai $p=1$ dan $sin\ 18=1$, ibarat yang kita tahu bahwa ini tidak sesuai dengan kisaran nilai $sin\ 18$.
Sekarang kita hanya konsentrasi kepada $\left (4p^{2}+2p-1 \right )=0$
Untuk mendapat nilai p, kita memakai rumus abc,
$p_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p_{12}=\frac{-2\pm \sqrt{2^{2}-4\cdot 4\cdot \left (-1 \right )}}{2\left (4 \right )}$
$p_{12}=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}$
$p_{12}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}$
$p_{12}=\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{8}$
$p_{12}=-\frac{1}{4}\pm \frac{1}{4}\sqrt{5}$
Dari persamaan diatas kita peroleh dua nilai $p$
$p_{1}=-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$
$p_{2}=-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{5}$
Dari dua nilai diatas, nilai yang memenuhi yaitu $p_{1}=-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$.
Sehingga nilai $sin\ 18^{\circ} $ yang kita hitung yaitu $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{5}$.
Jika Anda memiliki alternatif penyelesaian untuk menghitung $sin\ 18^{\circ} $ mari berbagi.
Video pilihan khusus untuk Anda 😏 Bentuk akar dengan video berikut mungkin dapat menambah pemahaman;
0 Response to "Pak, Berapakah Sin 18 Derajat?"
Post a Comment