Barisan dan deret salah satu bahan matematika yang dipelajari pada Sekolah Menengan Atas dan SMP, bahkan dalam bentuk soal dongeng atau matematika realistik, soal ihwal barisan dan deret sudah disisipkan pada bahan matematika untuk tingkat SD.Barisan dan Deret Bilangan
Barisan Bilangan ialah urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut pola tertentu.Secara simbol sederhana barisan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$
$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.
Secara simbol sederhana deret bilangan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$
$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$
Barisan dan Deret Geometri
Setelah sanggup memahami ihwal barisan dan deret bilangan, kini coba kita diskusikan ihwal Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri [BG] bila perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ [BG dengan $r=2$]
$27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}...$ [BG dengan $r=\frac{1}{3}$]
Pada Barisan Geometri (BG) bila suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku BG secara umum sanggup kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$
Sedangkan bila BG kita tuliskan menjadi Deret Geometri (DG), penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$
Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
- rasio=$r$
$r=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\frac{U_{7}}{U_{6}}$
$r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}$ - Suku ke-n
$U_{n}=ar^{n-1}$ - Jumlah n suku pertama
$S_{n}=\frac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$S_{n}=\frac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$ - Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
$U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
$S_{n}=n \cdot U_{t}$
Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku menggunakan istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami BG dan DG ini coba kita diskusikan beberapa referensi soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.
Soal UN 2007
1. Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya basil ada 400. Banyak basil pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$(A)\ 640\ Bakteri\\
(B)\ 3.200\ Bakteri\\
(C)\ 6.400\ Bakteri\\
(D)\ 12.800\ Bakteri\\
(E)\ 32.000\ Bakteri$
Hint
Kita coba dengan memisalkan banyak basil awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak basil ialah $2a$,
5 menit berikutnya banyak basil ialah $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak basil ialah $8a$.
Sehingga banyak basil pada 15 menit pertama ialah suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak basil mula-mula ialah 50 bakteri.
Dengan mengikuti pola diatas juga banyak basil pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$
$a=50$
Soal SM-UNPAD 2007
2. Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 bab sehingga panjang setiap potongnya membentuk BG. Jika serpihan kawat yang paling pendek ialah 4 cm, serpihan kawat yang paling panjang adalah...
$(A)\ 60\ cm\\
(B)\ 64\ cm\\
(C)\ 68\ cm\\
(D)\ 72\ cm\\
(E)\ 76\ cm$
Hint
Keterangan yang sanggup kita ambil dari soal ialah panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 bab ialah 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 bab dengan mengikuti pola BG, maka bila kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya ialah 4 dan jumlah barisan ialah 124, sehingga sanggup kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\frac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\frac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\frac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\frac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi ialah $r=2$
Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$
Soal SPMB 2004
3. Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut memiliki suku pertama sama dengan 2. Jika rasio BG sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$(A)\ 2\\ (B)\ 8\\ (C)\ 10\\ (D)\ 14\\ (E)\ 16$
Hint
$U_{4} [BG]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$
Nilai $r$ yang lingkaran ialah yang memenuhi, $r=2$.
Nilai suku ke-5 BG dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=ar^{4}-(a+10b)$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=(2)(2)^{4}-(2+10(2))$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=32-22$
$U_{5} [BG]-U_{11} [BA]=10$
Cerita ihwal Barisan dan Deret Geometri diatas masihlah sangat sederhana, bila Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Makara Kreatif;
0 Response to "Belajar Barisan Dan Deret Geometri"
Post a Comment