Belajar Barisan Dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret salah satu bahan matematika yang dipelajari pada Sekolah Menengan Atas dan SMP, bahkan dalam bentuk soal kisah atau matematika realistik, soal wacana barisan dan deret sudah disisipkan pada bahan matematika untuk tingkat SD.

Barisan dan Deret Bilangan

Barisan Bilangan yakni urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut pola tertentu.

Secara simbol sederhana barisan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$

$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.

Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.

Secara simbol sederhana deret bilangan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$

$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah sanggup memahami wacana barisan dan deret bilangan, kini coba kita diskusikan wacana Barisan dan Deret Bilangan Aritmatika yang sering disebut hanya Barisan Aritmatika. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Aritmatika (BA) jikalau selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.

Selisih antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $beda$ ($b$).
Contoh,
$2, 5, 8, 11, 14,...$ (BA dengan $b=3$)
$10, 6, 2, -2, -6,...$ (BA dengan $b=-4$)

Pada Barisan Aritmatika (BA) jikalau suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan beda dengan $b$ maka suku-suku BA secara umum sanggup kita tuliskan menjadi;
$a,\ (a+b),\ (a+2b),\ (a+3b),\cdots, a+(n-1)b$

Sedangkan jikalau BA kita tuliskan menjadi Deret Aritmatika (DA), penulisan menjadi;
$a+\ (a+b)+\ (a+2b)+\ (a+3b)+\cdots+ \left(a+(n-1)b\right)$

Dari bentuk umum diatas kita peroleh,

• beda=$b$
  $b=U_{2}-U_{1}=U_{3}-U_{2}=U_{7}-U_{6}$
  $b=U_{n}-U_{n-1}$
• Suku ke-n
  $U_{n}=a+(n-1)b$
• Jumlah n suku pertama
  $S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
  $S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
• Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
  $U_{t}=\frac{1}{2}\left ( a+U_{n} \right )$
  $S_{n}=n \cdot U_{t}$

Barisan dan Deret Aritmatika untuk beberapa buku menggunakan istilah dengan sebutan Deret Hitung. untuk memahami BA dan DA ini coba kita diskusikan beberapa pola soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.

1. Dari suatu deret aritmatika diketahui $U_{3}=13$ dan $U_{7}=29$. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah...(Soal UN 2005)
(A)3.250 (B)2.650 (C)1.625 (D)1.325 (E)1.225

Alternatif Penyelesaian:
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{3}=13$ ⇒ $a+2b=13$...pers(1)
$U_{7}=29$ ⇒ $a+6b=29$...pers(2)

pers(1)-pers(2) ⇒ $-4b=-16$ ⇒ $b=4$

kemudian substitusikan nilai $b=4$ ke pers(1) atau pers(2)
$a+2b=13$
$a+2(4)=13$
$a=13-8$
$a=5$

Jumlah 25 suku pertama adalah,
$S_{n}=\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [2(5)+\left ( 25-1 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left [10+\left ( 24 \right )(4) \right ]$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (10+96 \right )$
$S_{25}=\frac{25}{2}\left (106 \right )$
$S_{25}=1.325$

2. Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika keliling segitiga tersebut yakni 72, luasnya adalah...(Soal SPMB 2007)
(A)216 (B)363 (C)364 (D)383 (E)432

Alternatif Penyelesaian:

Keliling Segitiga = jumlah ketiga sisinya
$K_\Delta=a+(a+b)+(a+2b)$
$72=3a+3b$
$24=a+b$...pers(1)

Karena segitiga yakni segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema phytagoras (kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dari dua sisi lainnya).
$(a+2b)^{2}=a^{2}+(a+b)^2$
$a^{2}+4ab+4b^{2}=a^2+a^2+2ab+b^2$
$0=a^2-2ab-3b^2$
$0=(a-b)^2-4b^2$
$(a-b)^2=4b^2$
$(a-b)^2=(2b)^2$
$a-b=2b$
$a=3b$ *substitusi ke pers(1)

$24=3b+b$
$4b=24$
$b=6$ maka $a=18$

Luas Segitiga
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot a\cdot (a+b)$
$L_\Delta=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot (24)$
$L_\Delta=216$

Sebagai alternatif penyelesaian, soal ini sanggup dikerjakan dengan cara menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku sebab membentuk Barisan Aritmatika sehingga berlaku $a:b:c=3x:4x:5x$.

$K_\Delta=3x+4x+5x$
$72=12x$
$6=x$

$L_\Delta=\frac{1}{2}(4x)(3x)$
$L_\Delta=6x^2$
$L_\Delta=6(36)=216$

Cerita wacana Barisan dan Deret Aritmatika diatas masihlah sangat sederhana, jikalau Anda punya sesuatu untuk kita diskusikan silahkan disampaikan melalui kotak komentar.

Pernah dengar bilangan prima terbesar atau sudah pernah membayangkan berapa bilangan prima terbesar?, mari kita lihat bagaimana bilangan prima terbesar;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: