Belajar Aritmetika Modular

belajar matematika di Hari Paskah<img alt="iskusi Aritmetika Modular ini merupakan diskusi embel-embel sehabis sebelumnya kita telah dis Belajar Aritmetika Modular" height="500" src="url" title="Belajar Aritmetika Modular" width="750"/>

Hal yang juga untuk 18 dan 6, alasannya selisih 18 dan 6 yaitu kelipatan 12, kita tulis $18 \equiv 6\ (mod\ 12)$.

Dari beberapa teladan sederhana diatas, membawa kita kepada defenisi berikut:

Defenisi:
Misalkan $n$ yaitu suatu bilangan bundar positif, $a$ dan $b$ yaitu suatu bilangan bulat.
$a$ dikatakan kongruen $b$ modulo $n$, ditulis $a \equiv b\ (mod\ n)$ kalau dan hanya kalau $(a-b)$ yaitu kelipatan $n$.

Untuk menambah pemahaman kita terhadap defenisi modulo diatas, kita coba diskusikan beberapa teladan berikut;

Contoh 1:
Periksa kebenaran pernyataan berikut ini:
[a] $3 \equiv 24\ (mod\ 7)$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$3 \equiv 24\ (mod\ 7)$
Benar, alasannya $3 – 24 = -21$ kelipatan dari $7$

[b] $-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$
Benar, alasannya $–31 – 11 = -42$ kelipatan dari $7$

[c] $-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$
Benar, alasannya $–15 + 64 = 49$ kelipatan dari $7$

[d] $13 \equiv -1\ (mod\ 7)$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$13 \equiv -1\ (mod\ 7)$
Benar, alasannya $13 + 1 = 14$ kelipatan dari $7$

[e] $23 \equiv 3\ (mod\ 7)$

Alternatif Pembahasan:

Hint

$23 \equiv 3\ (mod\ 7)$
Salah, alasannya $23 – 3 = 20$ bukan kelipatan dari $7$

Jika $(a – b)$ bukan kelipatan dari $n$, atau ditulis $n \nmid (a – b)$, maka kita katakan bahwa $a$ tidak kongruen $b$ modulo $n$ dan ditulis $a \not\equiv b (mod\ n)$. Sebagai contoh, $23 \not\equiv 3\ (mod\ 7)$

Contoh 2:
Tentukan semua bilangan bundar $x$ sedemikian sehingga $x \equiv 1\, (mod\ 10) $

Alternatif Pembahasan:

Hint

$x \equiv 1\ (mod\ 10)$ kalau dan hanya kalau $x-1=10k$ Untuk setiap $k$ bilangan bulat.
Jika $k = 0, 1, 2, 3, …$ maka berturut-turut $x = 1, 11, 21, 31, ...$

Begitu pula $k = -0, -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -200, 21, 31,...$
Begitu pula $k = -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -19, -29,...$

Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian $x \equiv 1\ (mod\ 10)$ adalah
$..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31,...$

Pada teladan 2 di atas, tampak bahwa setiap elemen pada ${1, 11, 21, 31, ...}$ memiliki sisa 1 kalau dibagi oleh 10. Secara umum sanggup dikatakan bahwa dua buah bilangan cacah yaitu kongruen modulo $n$ kalau dan hanya kalau sisanya pada pembagian oleh $m$ yaitu sama.

Sifat 1

Misalkan $n$ suatu bilangan bundar positif dan $a, b, c,$ dan $d$ bilangan bundar sebarang berlaku:

[1] $a \equiv a\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

Untuk $a$ bilangan bundar sebarang dan $n$ suatu bilangan bundar positif berlaku $a – a = 0 \cdot n $.
Dengan demikian $a \equiv a\ (mod\ n)$.

[2] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $b \equiv a\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $k$ suatu bilangan bulat.
Akibatnya
$b-a=-(a-b)$
$b-a=-(kn)$
$b-a=(-k)n$
Karena $-k$ juga suatu bilangan bulat, $b \equiv a\ (mod\ n)$.

[3] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$ maka $a \equiv c\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$
Ada $h$ dan $k$ suatu bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$.
Akibatnya:
$a-c=(a-b)+(b-c)$
$a-c=hn+kn$
$a-c=n(h+k)$
Karena $h+k$ juga bilangan, $a \equiv c\ (mod\ n)$.

[4] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$
Ada $h$ dan $k$ bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$.
$(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$
$(a+c)-(b+d)=hn+kn$
$(a+c)-(b+d)=n(h+k)$
Karena $h+k$ juga bilangan bulat, $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$.

[5] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$
Pandang
$ac=(b+hn)(d+kn)
$ac=bd+(bk+dh+hkn)n$
Karena $(bk+dh+hkn)$ bilangan bulat,
Ada $h$ dan $k$ bilangan bulat, $ac \equiv bd\ (mod\ n)$.

[6] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $h$ bilangan sehingga $a-b=hn$
Karena $(a+c)-(b+c)=a-b=hn$
dengan demikian $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$.

[7] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bc\ (mod\ n)$

Alternatif Pembuktian:

Hint

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $h$ bilangan bundar sehingga $a – b = hn $.
$ac-bc=(a-b)c=hnc=(hc)n$
Karena $hc$ bilangan bulat,
dengan demikian $ac \equiv bc\ (mod\ n)$.

[8] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ untuk $k$ bilangan bundar positif sebarang.

Alternatif Pembuktian:

Hint

Untuk bukti ini ita gunakan Induksi Matematika.
Untuk $k=1$, berlaku $a \equiv a\ (mod\ n)$.
Kita asumsikan $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ berlaku,
Akan ditunjukkan $a^{k+1} \equiv b^{k+1}\ (mod\ n)$ juga berlaku.

Dari sifat [5], kalau $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$
kita ganti $c$ oleh $a^k$ dan $d$ oleh $b^k$ diperoleh;
$aa^k \equiv bb^k (mod\ n)$ atau $a^{k+1} \equiv b^{k+1} (mod\ n)$

Contoh 3:
Tentukan sisanya kalau $3^{100}$ dibagi oleh $5$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Tampaknya kalkulator tidak sanggup dipakai untuk menemukan tanggapan atas duduk kasus yang diajukan. Untuk itu kita gunakan cara lain untuk menuntaskan duduk kasus ini.

Kita tahu bahwa suatu bilangan bundar positif dibagi oleh 5 memiliki sisa 0, 1, 2, 3, atau 4.
Penggunaan aritmetika modular akan membantu kita kalau kita sanggup menemukan bilangan bundar terkecil yang ekuivalen dengan pangkat dari 3, dan penggunaan sifat [7] dan [8] untuk membangun $3^100$ dan menemukan ekuivalensi mod 5.

Kita tahu bahwa $3^2 \equiv 4\ (mod\ 5)$
Dengan demikian,
$3^3 \equiv 3 \cdot 4 \equiv 2\ (mod\ 5)$
$3^4 \equiv 3 \cdot 2 \equiv 1\ (mod\ 5)$

Dengan memakai sifat [8] kita peroleh,
$(3^4)^{25} \equiv 1^{25} (mod\ 5)$, atau
$3^{100} \equiv 1 (mod\ 5)$

Jadi: $3^{100}$ dibagi oleh $5$ memiliki sisa $1$.

Sifat 2

Jika $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$ dimana $d = FPB(c , n)$.

Alternatif Pembuktian:

Hint

Karena $ca \equiv cb\ (mod\ n)$,
$c(a – b) = ca – cb = kn$ untuk suatu bilangan bundar $k$.

Kita tahu bahwa $d = FPB(c , n)$, dengan demikian, ada bilangan bundar saling prima [relative prime] $r$ dan $s$ yang memenuhi $c = dr$, $n = ds$.

Jika hasil ini kita substitusikan ke persamaan $c(a – b) = ca – cb = kn$ maka kita peroleh $r(a – b) = ks$.

Hasil ini mengatakan $s \mid r(a – b)$, dan alasannya $FPB (r , s) = 1$, diperoleh $s (a – b)$. Dengan kata lain,
$ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$

Sifat 3

Jika $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ dan $FPB(c , n) = 1$ maka $a \equiv b\ (mod\ n)$.

Sifat 3 ini hanya merupakan masalah khusus dari sifat 2

Sifat 4

Jika $ca \equiv cb\ (mod\ p)$ dan $p \nmid c$, dimana $p$ yaitu bilangan prima maka $a \equiv b\ (mod\ p)$.

Alternatif Pembuktian:

Hint

Kondisi $p \nmid c$ dan $p$ yaitu bilangan prima ini mengakibatkan $FPB\ (c,p)=1$

Contoh 4:

Perhatikan $33 \equiv 15\ (mod\ 9)$, atau $3 \cdot 11 \equiv 3 \cdot 5\ (mod\ 9)$.
Karena $FPB(3,9)=1$ mengakibatkan $11 \equiv 5\ (mod\ 9)$
Perhatikan $-35 \equiv 45\ (mod\ 8)$, atau $5 \cdot (-7) \equiv 5 \cdot 9\ (mod\ 8)$.
Karena $5$ dan $8$ bilangan bundar saling prima mengakibatkan $-7 \equiv 9\ (mod\ 8)$

Diskusi sederhana wacana aritmetika modular diatas mudah-mudahan menambah pemahaman kita wacana bilangan modular. Jika ingin mendapat file diskusi diatas dalam ekstensi .pdf silahakn di download pada link dibawah ini.

File ini juga menjadi sumber goresan pena ini, silahkan download dimari. Jika ada yang ingin kita diskusikan mari disampaikan, mari bermatematik😊😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara nakal, mari kita lihat perkalian yang kreatif;

Pendidikan Mudah

Belajar Aritmetika Modular

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Sifat 1

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Hint

Sifat 2

Hint

Sifat 3

Sifat 4

Hint

0 Response to "Belajar Aritmetika Modular"

Post a Comment