Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Banyak Sekali Sumber)
2. SPMB 2014 Kode 622
Diketahui $a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$. Jika $^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$, maka $a+b$ adalah...
$(A)\ 4$
$(B)\ 6$
$(C)\ 8$
$(D)\ 12$
$(E)\ 16$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$a=^{4}log\ x$ dan $b=^{2}log\ x$ $\Leftrightarrow $ $2a=b$
$^{4}log\ b+^{2}log\ a=2$
$\frac{1}{2}^{2}log\ b+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ b^{\frac{1}{2}}+^{2}log\ a=2$
$^{2}log\ \left( b^{\frac{1}{2}} \cdot a \right)=2$
$b^{\frac{1}{2}} \cdot a =2^{2}$
$(2a)^{\frac{1}{2}} \cdot a =4$
$2a \cdot a^{2} =16$
$a^{3} =8$
$a=2$ dan $b=4$
Nilai $a+b=2+4=6$ $\B$
3. SPMB 2013 Kode 425
Jika $^{x}log\ w=\frac{1}{2}$ dan $^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$ maka nilai $^{y}log\ w$ adalah$\cdots$
$(A)\ 8$
$(B)\ 6$
$(C)\ 4$
$(D)\ 2$
$(E)\ 1$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$^{x}log\ w=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ x=2$
$^{xy}log\ w=\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {xy}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {x}+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 2+^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{5}{2}-2$
$\Leftrightarrow ^{w}log\ {y}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow ^{y}log\ {w}=2$ $\D$
4. SIMAK UI 2013 Kode 331
Diketahui bahwa:
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
maka nilai $x$ adalah$\cdots$
$(1)\ \frac{1}{3}$
$(2)\ 1$
$(3)\ 48$
$(4)\ 162$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x =$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x + ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x$
Jika kita perhatikan persamaan diatas, tiap ruas mengandung $^{3}log\ x$ sehingga persamaan akan memenuhi untuk $x=1$.
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 3$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{3}log\ x \cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3=$ $^{3}log\ x\cdot\ ^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{3}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x=$ $^{6}log\ x+^{9}log\ x+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3$
Berikutnya, ruas kiri dan kanan persamaan kita kalikan dengan $^{x}log\ 6$ sehingga kita peroleh;
$\Rightarrow$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6=$ $^{6}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+^{9}log\ x \cdot\ ^{x}log\ 6+ ^{6}log\ x \cdot\ ^{9}log\ 3 \cdot\ ^{x}log\ 6$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $1+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ 9+^{9}log\ 6+ ^{9}log\ 3$
$\Rightarrow$ $^{9}log\ x=$ $^{9}log\ (9 \cdot 6 \cdot 3)$
$\therefore$ $x=9 \cdot 6 \cdot 3=162$.
Untuk pilihan dalam $ABCDE$ kalau yang benar hanya pilihan $(2)$ dan $(4)$ maka jawabnya ialah $\C$
5. SIMAK UI 2012 Kode 222
Jika diketahui:
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$ maka $f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})=\cdots$
$(A)\ 461$
$(B)\ 462$
$(C)\ 463$
$(D)\ 464$
$(E)\ 465$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$f(n)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{n-1}log\ n$
$f(8)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{7}log\ 8$
$f(2^{3})=^{2}log\ 8=3$
$f(16)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{15}log\ 16$
$f(2^{4})=^{2}log\ 16=4$
$f(32)=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{31}log\ 32$
$f(2^{5})=^{2}log\ 8=5$
$\vdots$
$f(2^{30})=^{2}log\ 3 \cdot\ ^{3}log\ 4 \cdot\ ^{4}log\ 5 \cdots\ ^{2^{30}-1}log\ 2^{30}$
$f(2^{30})=^{2}log\ 2^{30}=30$
$f(8)+f(16)+f(32)+ \cdots +f(2^{30})$
$=3+4+5+\cdots+30$
$=15 \cdot 31 -3$
$=462$ $\B$
6. SIMAK UI 2012 Kode 222
Sebuah bulat mempunyai jari-jari $log\ a^{2}$ dan keliling $log\ b^{4}$, maka $^{a}log\ b=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{4\pi}$
$(B)\ \frac{1}{\pi}$
$(C)\ \pi$
$(D)\ 2\pi$
$(E)\ 10^{2\pi}$
Alternatif Pembahasan:
Hint
Keliling Lingkaran $=2 \pi r$
$log\ b^{4}=2 \pi\ log\ a^{2}$
$4 log\ b=2 \pi\ 2 log\ a$
$4 log\ b=4 \pi\ log\ a$
$log\ b= \pi\ log\ a$
$\frac{log\ b}{log\ a}= \pi$
$^{a}log\ b= \pi$ $\C$
7. USM STIS 2015
Jika diketahui $x=log\ a$, $y=log\ b$ dan $z=log\ c$. Maka bentuk sederhana dari $log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$ dalam $x$, $y$ dan $z$ adalah$\cdots$
$(A)\ log \left (\frac{x}{y^{2}}\sqrt{z} \right )$
$(B)\ log\ x-log\ y^{2}+log \sqrt{z}$
$(C)\ \frac{x}{y^{2}}\sqrt{z}$
$(D)\ x-2y+ \frac{1}{2}z$
$(E)\ x-y^{2}+\sqrt{c}$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$log\left (\frac{a}{b^{2}}\sqrt{c} \right )$
$=log\left (\frac{a}{b^{2}}\right )+log\ \sqrt{c}$
$=log\ a-log\ b^{2} + log\ c^{\frac{1}{2}}$
$=log\ a-2\ log\ b +\frac{1}{2} log\ c$
$=x-2y +\frac{1}{2} z$ $\D$
8. USM STIS 2017
$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}=\cdots$
$(A)\ \frac{1}{2}$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 4$
$(E)\ 5$
Alternatif Pembahasan:
Hint
Untuk menuntaskan soal logaritma diatas kita gunakan sifat aljabar $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\frac{\left (^{5}log\ 10 \right )^{2}-\left (^{5}log\ 2 \right )^{2}}{^{5}log\ \sqrt{20}}$
$=\frac{\left (^{5}log\ 10\ +\ ^{5}log\ 2 \right) \left(^{5}log\ 10\ -\ ^{5}log\ 2 \right)}{^{5}log\ 20^{\frac{1}{2}}}$
$=\frac{\left (^{5}log\ 20\right) \left(^{5}log\ 5\right)}{\frac{1}{2}\ ^{5}log\ 20}$
$=\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$=2$ $\C$
9. UM UNDIP 2015 Kode 517
Diketahui persamaan
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )\\
&=^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )\\
&=0\end{split}maka nilai dari $a+b+c$ adalah$\cdots$
$(A)\ 145$
$(B)\ 156$
$(C)\ 166$
$(D)\ 178$
$(E)\ 200$
Alternatif Pembahasan:
Hint
Untuk menuntaskan persamaan logaritma diatas, kita coba selesaikan persamaannya satu persatu, persamaan pertama;
\begin{split}^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=0\\
^{3}log\ ^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{3}log\ 1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=1\\
^{5}log\ \left(^{2}log\ b\right )&=\ ^{5}log\ 5\\
\left(^{2}log\ b\right )&=5\\
b&=2^{5}\\
b&=32\end{split}
Persamaan kedua;
\begin{split}^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=0\\
^{5}log\ ^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{5}log\ 1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=1\\
^{2}log\ \left(^{3}log\ c\right )&=\ ^{2}log\ 2\\
\left(^{3}log\ c\right )&=2\\
c&=3^{2}\\
c&=9\end{split}
Persamaan ketiga;
\begin{split}^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=0\\
^{2}log\ ^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{2}log\ 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&= 1\\
^{3}log\ \left(^{5}log\ a\right )&=\ ^{3}log\ 3\\
\left(^{5}log\ a\right )=3\\
a=5^{3}\\
a=125\end{split}
$a+b+c=125+32+9=166$
10. SIMAK UI 2010 Kode 203
Jika $(p,q)$ merupakan penyelesaian dari sistem berikut:
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
\end{split} maka nilai $p-q=\cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 4$
$(C)\ 5$
$(D)\ 9$
$(E)\ 13$
Alternatif Pembahasan:
Hint
Sistem persamaan diatas mempunyai peneyelesaian $(p,q)$, sehingga kita harus mendapat nilai $p$ dan $q$ yang berturut-turut merupakan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan.
Pertama kita coba sederhanakan sistem persamaan. Persamaan pertama sudah berada pada bentuk yang paling sederhana, sehingga yang perlu kita sederhanakan ialah persamaan kedua;
\begin{split}
^{3}log\ x^{2}\ -\ ^{4}log\ 4y^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2^{2}}log\ {(2y)}^{2} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ \frac{2}{2}\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ (^{2}log\ {2}+^{2}log\ {y}) &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ {2}-^{2}log\ {y} &=1\\
2\ ^{3}log\ x\ -^{2}log\ {y} &=2\\
\end{split}
Sistem persamaan kini sanggup kita tuliskan menjadi;
\begin{split}
^{3}log\ x\ +\ ^{2}log\ y &=4\\
2\ ^{3}log\ x\ -\ ^{2}log\ y &=2\\
\end{split}
Untuk mempermudah penulisan atau penyelesaian persamaan diatas, kita misalkan $^{3}log\ x\ =m$ dan $^{2}log\ y\ =n$. Dengan pemisalan ini sistem persamaan sanggup kita tuliskan menjadi;
\begin{split}
m\ +\ n\ &=4\\
2\ m\ -\ n\ &=2\\
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau mengsubstitusi sistem persamaan diatas, maka kita peroleh nilai $m=2$ dan $n=2$.
Untuk nilai $m=2$ maka $^{3}log\ x\ =2$ sehingga $x=3^{2}$
Untuk nilai $n=2$ maka $^{2}log\ y\ =2$ sehingga $y=2^{2}$
Nilai $p-q=9-4=5$ $\C$
11. SIMAK UI 2010 Kode 203
Nilai $\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 5$
$(E)\ 6$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5}$
$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5+\ ^{3}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 6}{^{5}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 5 \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{6}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}{^{2}log\ 5 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 5\ +\ ^{3}log\ 5}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5} \cdot \frac{^{5}log\ 3}{^{5}log\ 3}$
$=\frac{^{2}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3+\ ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}{^{2}log\ 6 \cdot ^{3}log\ 5\ \cdot\ ^{5}log\ 3}$
$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ 1}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 3\ +\ ^{2}log\ 2}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ (3 \cdot 2)}{^{2}log\ 6}$
$=\frac{^{2}log\ 6}{^{2}log\ 6}$
$=1$ $\B$
12. UM UGM 2017 Kode 723
Jika $^{2}log\ (a-b)=4$, maka $^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )=\cdots$
$(A)\ \frac{^{2}log\ a-4}{4}$
$(B)\ \frac{^{2}log\ a+4}{4}$
$(C)\ \frac{^{2}log\ a-2}{2}$
$(D)\ \frac{^{2}log\ a+2}{2}$
$(E)\ \frac{^{2}log\ a-1}{2}$
Alternatif Pembahasan:
Hint
$^{4}log\ \left (\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )$
$=\ ^{4}log\ \left (\frac{4\sqrt{a}}{a-b} \right )$
$=\ ^{4}log\ 4\sqrt{a} -\ ^{4}log\ (a-b)$
$=\ ^{4}log\ 4 +\ ^{4}log\ \sqrt{a} -\ \frac{1}{2} \cdot ^{2}log\ (a-b)$
$=1 +\ ^{2^{2}}log\ a^{\frac{1}{2}} -\ \frac{1}{2} \cdot 4$
$=1 +\ \frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 2$
$=\frac{1}{4} \cdot ^{2}log\ a -\ 1$
$=\frac{^{2}log\ a -\ 4}{4}$ $\A$
13. SIMAK UI 2009 Kode 911
${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3$ dan ${}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $, maka $ x + y = \cdots $
$(1)\ 2\sqrt{7} $
$(2)\ -4\sqrt{7} $
$(3)\ -2\sqrt{7} $
$(4)\ 4\sqrt{7} $
Alternatif Pembahasan:
Contoh soal dan pembahasan akan kita tambah lagi besok, silahkan pantau kembali perkembangannya pada esok hari. Hint
Kita coba mulai bermain dari persamaan pertama ${}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y = 3 $, dengan mengusahakan bilangan pokok logaritma jadi sama.
$ \begin{align}
{}^3 \log x + 2\ {}^9 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2\ {}^{3^2} \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log x + {}^3 \log y & = 3 \\
{}^3 \log xy & = 3 \\
xy & = 3^3 \\
xy & = 27 \\
\end{align} $
Syarat bilangan ${}^3 \log x$ ialah $ x > 0 $ dan syarat ${}^9 \log y$ ialah $ y > 0 $.
Lalu kita bermain dari persamaan kedua $ {}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) = 0 $
$ \begin{align}
{}^3 \log \left( \frac{x-y}{2} \right) & = 0 \\
\frac{x-y}{2} & = 3^0 \\
\frac{x-y}{2} & = 1 \\
x - y & = 2
\end{align} $
Dari hasil yang kita peroleh dari persamaan pertama $ xy = 27 $ dan kedua $ x - y = 2 $;
$ \begin{align}
x - y & = 2 \\
(x - y)^2 & = 2^2 \\
x^2 + y^2 - 2xy & = 4 \\
x^2 + 2xy + y^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 - 4xy & = 4 \\
(x + y)^2 & = 4 + 4xy \\
(x + y)^2 & = 4 + 4. 27 \\
(x + y)^2 & = 112 \\
x + y & = \pm \sqrt{112} \\
x + y & = \pm 4 \sqrt{7}
\end{align} $
Karena $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ dari syarat, maka nilai $ x + y$ yang memenuhi hanya $4\sqrt{7}$. Untuk pilihan dalam $ABCDE$ kalau yang benar hanya pilihan $(4)$ maka jawabnya ialah $\D$.
Jika ada yang ingin disampaikan untuk kita diskusikan terkait duduk kasus alaternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan bahagia hati segera menanggapinya 😊😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;
0 Response to "Matematika Dasar Logaritma (*Soal Dari Banyak Sekali Sumber)"
Post a Comment