![ada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri SBMPTN 2017 Matematika SAINTEK Kode 106 [Soal dan Pembahasan]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQ9uxi-3LDbPDVFXOZSAtQ4E_JquwlM2vXCBlJ79K7EVy1ThwJjHj4yXNYXHXS48Da__nLM1ryPCp9aWM-nFV3oFnv_MhcBsznlkde6WXV5sGOTTarGgFgxdmklRubsgH3oJQgyTktW2Je/s1600/SBMPTN+2017.jpg "SBMPTN 2017 Matematika SAINTEK Kode 106 [Soal dan Pembahasan]")
Pada ujian Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri [SBMPTN] tahun 2017 siswa dibagi menjadi beberapa kelompok ujian. Diantaranya Kelompok Ujian SAINTEK, Kelompok Ujian SOSHUM, dan Kelompok ujian campuran. Jika pada abad saya kelompok ujian ini dikenal dengan Kelompok IPA [SAINTEK], kelompok IPS [SOSHUM] dan kelompok IPC [campuran]Pada kelompok ujian SAINTEK [Sains dan Teknologi] akan mendapat bahan ujian TKPA [Tes Kemampuan dan TKD SAINTEK. Untuk kelompok ujian SOSHUM [Sosial dan Humaniora] akan mendapat bahan ujian TKPA dan TKD SOSHUM. Sedangkan untuk kelompok adonan akan mendapat bahan ujian TKPA, TKD SAINTEK dan TKD SOSHUM.
TKPA yang kependekan dari Tes Kemampuan dan Potensi Akademik dan yang diujikan pada TKPA terdiri atas Tes Kemampuan Verbal, Numerikal, Vigural, Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris.
Untuk TKD SAINTEK yang diujikan yakni mata pelajaran Matematika, Biologi, Fisika, dan Kimia. Sedangkan untuk TKD SOSHUM yang diujikan yakni mata pelajaran Sosiologi, Sejarah, Geografi dan Ekonomi.
Diskusi kali ini kita pilih dari soal SBMPTN 2017 TKD SAINTEK arahan naskah 106 mata pelajaran matematika, untuk mendapat soalnya secara lengkap untuk semua mata pelajaran yang diujikan silahkan download disini. Kemarin-kemarin ini disebut dengan istilah Matematika IPA, dimana kalau kita bisa benar 4 atau 5 saja dari 15 soal sudah masuk kategori baik. Mari kita coba diskusikan
Soal SBMPTN 2017 No.1
Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\begin{cases}\dfrac{9}{a+2b}+\dfrac{1}{a-2b}=2 \\ \dfrac{9}{a+2b}-\dfrac{2}{a-2b}=-1\end{cases}$ maka $a-b^2=\ldots$
$(A)\ 1$
$(B)\ 2$
$(C)\ 3$
$(D)\ 5$
$(E)\ 9$
Hint
Misalkan $x=\dfrac{1}{a+2b}$ dan $n=\dfrac{1}{a-2b}$ maka sistem persamaan pada soal sanggup ditulis menjadi
\begin{split}
9x+y & = 2\\
9x-2y & = -1
\end{split}
Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas diperoleh $x=\dfrac{1}{9}$ dan $y=1$. Lalu kita substitusi kembali nilai $x$ dan nilai $y$ pada pemisalan diawal, sehingga kita peroleh;
\begin{split}
& \dfrac{1}{a+2b} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow a+2b=9\\
& \dfrac{1}{a-2b} = 1 \Rightarrow a-2b=1
\end{split} Sama menyerupai sebelumnya dengan mengeliminasi atau substitusi kedua sistem persamaan di atas kita peroleh $a=5$ dan $b = 2$.
Makara $a-b^2\ = (5)-(2)^2\ = 1 \A$
Soal SBMPTN 2017 No.2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang manfaatnya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungannya menjadi dua kali lipat dalam $5$ tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun yakni ...
$(A)\ 2(\sqrt[10]{2}-1)$
$(B)\ 2(\sqrt[5]{2}-1)$
$(C)\ 2(\sqrt{2})$
$(D)\ 2(\sqrt[5]{2})$
$(E)\ 2(\sqrt[10]{2})$
Hint
Untuk menghitung suku bunga pada soal diatas kita pakai dengan perhitungan bunga majemuk. Pada selesai $n$ tahun, dengan suku bunga $R$ dan modal semula $P$ akan terkumpul menjadi sejumlah $S_{n}=P(1 + R)^{n}$.
Jika kita hubungkan pada soal, misalkan tabungan awalnya $= P$, suku bunga yang didapat sebesar $= R$, maka sesudah $5$ tahun atau $10$ semester tabungannya sanggup kita hitung sebagai berikut;
\begin{split}S_{n} &=P(1 + R)^{n}\\
S_{10} &=P(1 + R)^{10}\\
2P &=P(1 + R)^{10}\\
2 &=(1 + R)^{10}\\
\sqrt[10]{2} &=(1 + R)\\
\sqrt[10]{2}-1 &=R\\
\end{split}
Suku bunga yang kita peroleh diatas yakni suku bunga per semester, jadi suku bunga per tahun yakni $2R = 2(\sqrt[10]{2}-1) \A$
Soal SBMPTN 2017 No.3
Himpunan penyelesaian dari $\dfrac{x}{x+x^{2}}\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}$ adalah...
$(A) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x < 0\ atau\ 0< x \leq -\dfrac{1}{2} \right\}$
$(B) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2} < x < 0\ atau\ 0 < x < 1 \right\}$
$(C) \left \{x\mid -\dfrac{1}{2}\leq x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\}$
$(D) \left \{x\mid 1 < x < 0\ atau\ 0 < x \leq \dfrac{1}{2} \right\}$
$(E) \left \{x\mid -1 < x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\}$
Hint
\begin{split}
\dfrac{x}{x+x^{2}} &\geq -\dfrac{x}{x-x^{2}}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} &\geq \dfrac{x}{x^{2}-x}\\
\dfrac{x}{x^{2}+x} - \dfrac{x}{x^{2}-x} &\geq 0\\
\dfrac{x^{3}-x^{2}-(x^{3}+x^{2})}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{-2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\geq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{(x^{2}+x)(x^{2}-x)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x(x+1)x(x-1)} &\leq 0\\
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &\leq 0\\
\end{split}
Cari pembuat nol pembilang dan penyebut, kita peroleh $x=-1$, $x=0$, dan $x=1$.
Dari pembuat nol diatas kita peroleh empat tempat yaitu $x\leq -1,\ -1\leq x\leq0,\ 0\leq x\leq 1,\ x\geq 1$.
Sekarang kita coba menentukan nilai $x$ sembarang pada setiap daerah, kemudian menguji kepada pertidaksamaan;
misal kita pilih dari tempat $x\geq 1$ yang kita uji $x=3$ pada pertidaksamaan
\begin{split}
\dfrac{2x^{2}}{x^{2}(x+1)(x-1)} &= \dfrac{2(3)^{2}}{(3)^{2}(3+1)(3-1)}\\
&= \dfrac{18}{9(4)(2)}\\
&= \dfrac{1}{4}\geq0\\
\end{split}
Kesimpulan yang kita peroleh tempat $x\geq 1$ bukan Himpunan Penyelesaian alasannya yakni pada tempat ini pertidaksamaan $\geq0$.
Dengan cara yang sama kita akan memperoleh tempat yang balasannya $\leq 0$ yaitu $-1\leq x\leq0$, atau $0\leq x\leq 1$.
Lalu dengan memperhatikan syarat sebuah potongan yaitu penyebut $\neq0$ maka $x^{2}(x+1)(x-1)\neq0$.
Dengan demikian himpunan penyelesaian yakni $\left \{x\mid -1 < x < 0\ atau\ 0< x < 1 \right\} \E$
Soal SBMPTN 2017 No.4
Diketahui vektor $a,\ u,\ v,\ w$ yakni vektor di bidang kartesius dengan $v=w-u$ dan sudut antara $u$ dan $w$ yakni $60^{\circ}$. Jika $a=4v$ dan $a \cdot u=0$ maka...
$(A) \left \| u \right \|=2\left \| v \right \|$
$(B) \left \| v \right \|=2\left \| w \right \|$
$(C) \left \| v \right \|=2\left \| u \right \|$
$(D) \left \| w \right \|=2\left \| v \right \|$
$(E) \left \| w \right \|=2\left \| u \right \|$
Hint
\begin{split}
\Rightarrow & a = 4v\\
& a = 4(w-u)\\
& a = 4w-4u\\
\\
\Rightarrow a \cdot u & = 0\\
(4w-4u)u & = 0\\
4w \cdot u - 4u^{2}& = 0 \\
4w \cdot u & = 4u^{2} \\
w \cdot u & = u^{2} \\
\end{split}
Sudut antara vektor $u$ dan $w$ yakni $60^{\circ}$ sehingga berlaku:
\begin{split}
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| cos 60^{\circ} \\
u \cdot w &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
u^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|^{2} &=\left \| u \right \| \cdot \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
\left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \dfrac{1}{2} \\
2 \left \| u \right \|&= \left \| w \right \| \E\\
\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.5
Diketahui persamaan $sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) =1$. Jika $\theta_{1}$ dan $\theta_{2}$ yakni solusi dari persamaan tersebut, maka $tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2}= \cdots$
$(A)\ -1$
$(B)\ -0.5$
$(C)\ 0$
$(D)\ 0.5$
$(E)\ 1$
Hint
\begin{split}
sec\ \theta \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\dfrac{1}{cos\ \theta} \left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right ) &=1\\
\left (sec\ \theta \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
\left (\dfrac{1}{cos\ \theta} \left ( sin\ \theta \right )^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ sin\ \theta \right )&=cos\ \theta\\
sin\ \theta \left (\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ \right )&=cos\ \theta\\
\dfrac{sin\ \theta}{cos\ \theta}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{cos\ \theta}{sin\ \theta}\\
tan\ \theta+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}&=\dfrac{1}{tan\ \theta}\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta &=1\\
(tan\ \theta)^{2}+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}\ tan\ \theta -1 &=0\\
\therefore tan\ \theta_{1} \cdot tan\ \theta_{2} =-1 \A
\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.6
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3=0$ adalah...
$(A)\ x+2y+5=0$
$(B)\ x-2y+1=0$
$(C)\ x-2y+7=0$
$(D)\ x+2y+1=0$
$(E)\ x+2y-5=0$
Hint
Asimtot dari hiperbola ini jadi salah satu bahan yang sangat fresh di SBMPTN atau mungkin soal yang tidak diduga bakal dimunculkan oleh panitia pembuat soal SBMPTN.
Persamaan hiperbola secara umum ada 2 yaitu;
- Hiperbola Vertikal [Tegak]
- persamaan umumnya yakni $\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$
- Pusat $(h,k)$
- Persamaan asimtotnya yakni $\dfrac{(y-k)}{a}=\pm \dfrac{(x-h)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{a}{b}(x-h)$
- Hiperbola Horizontal [Mendatar]
- persamaan umumnya yakni $\dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
- Pusat $(h,k)$
- Persamaan asimtotnya yakni $\dfrac{(x-h)}{a}=\pm \dfrac{(y-k)}{b}$ atau $y-k=\pm \dfrac{b}{a}(x-h)$
\begin{split}
4y^{2}-x^{2}+16y+6x+3 & =0\\
4y^{2}+16y-x^{2}+6x+3 & =0\\
(2y+4)^{2}-16-(x-3)^{2}+9+3 &=0\\
(2y+4)^{2}-(x-3)^{2}&=4\\
\dfrac{(2y+4)^2}{4}-\dfrac{(x-3)^2}{4}&=1\\
\dfrac{2^{2}(y+2)^2}{2^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\dfrac{(y+2)^2}{1^{2}}-\dfrac{(x-3)^2}{2^{2}}&=1\\
\end{split}
Persamaan asimtot hiperbola di atas adalah
\begin{split}
\dfrac{(y+2)}{1^{2}}&=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
y+2 &=\pm \dfrac{(x-3)}{2}\\
2y+4 &=\pm (x-3)\\
\Rightarrow & 2y-x+7=0\\
\Rightarrow & 2y+x+1=0\ \D \\
\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.7
Misalkan $f(x)=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)= \cdots$
$(A)\ 12$
$(B)\ 10$
$(C)\ 8$
$(D)\ 6$
$(E)\ 4$
Hint
\begin{split}
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}+4bx+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)+2b\\
3(2)^{3}-9(2)^{2}+4b(2)+18 &=(2-2)g(2)+2b\\
24-36+8b+18 &=2b\\
-12+8b+18 &=2b\\
6b &=-6\\
b &=-1\\
f(x)&=3x^{3}-9x^{2}-4x+18\\
f(x)&=(x-2)g(x)-2\\
3(-2)^{3}-9(-2)^{2}-4(-2)+18 &= (-2-2)g(-2)-2\\
-24-36+8+18 &= (-4)g(-2)-2\\
-60+26+2 &= (-4)g(-2)\\
-32 &= (-4)g(-2)\\
8 &= g(-2)\ \C\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.8
Diketahui suatu bundar kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui sentra suatu bundar besar yang memiliki radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bundar merupakan diameter dari bundar kecil, menyerupai pada gambar. Luas tempat irisan kedua bundar yakni ...$(A)\ 18\pi+18$
$(B)\ 18\pi-18$
$(C)\ 14\pi+14$
$(D)\ 14\pi-15$
$(E)\ 10\pi+10$
Hint
Luas tempat irisan kedua lingkaran kalau kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut;
\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Biru & = \frac{1}{2} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2}\\
& = \frac{1}{2} \pi (18)\\
& = 9 \pi
\end{split}
Untuk menghitung luas tempat kuning yang merupakan luas tembereng bundar yang besar, sanggup digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$.
\begin{split}
\Rightarrow Luas\ Juring ABC & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\
& = \frac{1}{4} \pi 36 \\
& = 9 \pi\\
\Rightarrow Luas\ \bigtriangleup ABC & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\
& = 18 \\
\Rightarrow Luas\ Tembereng & = 9 \pi - 18
\end{split}
Luas irisan bundar $=$ luas biru $+$ luas tembereng $=9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18\ \B$
Soal SBMPTN 2017 No.9
Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$(A)\ 0$
$(B)\ 1$
$(C)\ 2$
$(D)\ 3$
$(E)\ 4$
Hint
Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra sumbu $y$
- Jika digunakan pada integral, ciri fungsi genap ini yakni $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $ Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
- Berlaku $f(-x)=-f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra $(0,0)$
- Jika digunakan pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini yakni $\int_{-a}^a f(x)dx =0$. Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.
Kembali kepada soal,
\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0\ \A
\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.10
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}=\cdots$
$(A)\ -\dfrac{1}{8}$
$(B)\ -\dfrac{1}{4}$
$(C)\ 0$
$(D)\ \dfrac{1}{4}$
$(E)\ \dfrac{1}{8}$
Hint
\begin{split}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sec\ x+cos\ x-2}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{cos\ x}+\dfrac{cos^{2}x}{cos\ x}-\dfrac{2\ cos\ x}{cos\ x}}{x^{2}\ sin^{2}x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cos^{2}-2\ cos\ x+1}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (cos\ x-1 \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (-2sin^{2}(\dfrac{1}{2}x) \right )^{2}}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)\ sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}\ sin^{2}x\ cos\ x}\\
= & \lim\limits_{x \to 0} 4\ \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{x^{2}} \cdot \dfrac{sin^{2}(\dfrac{1}{2}x)}{sin^{2}x} \cdot \dfrac{1}{cos\ x}\\
= & 4\ \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1}\\
= & \dfrac{1}{4}\ \D\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.11
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \text{Tidak ada limitnya} \\
(B).\ & 0 \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & - \infty \\
(E).\ & \infty
\end{align}$
Hint
Untuk menuntaskan soal limit ini kita gunakan sedikit manipulasi aljabar, yaitu dengan memisalkan $\dfrac{1}{x}=m$ maka $\dfrac{1}{m}=x$. Karena $x \to \infty$ maka $m \to 0$.
Soal $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ sin\left (\dfrac{1}{x} \right )+x^{2}}{1+x^{3}}$ bisa kita tuliskan menjadi
\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{m} \right )^{4}\ sin\ m+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{m} \right )^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{m^{4}}\ sin\ m+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{1+\dfrac{1}{m^{3}}} \cdot \dfrac{m^{3}}{m^{3}}\\
& = \lim\limits_{m \to 0} \dfrac{\dfrac{sin\ m}{m}+m}{m^{3}+1}\\
& = \dfrac{1+0}{0+1}\\
& = 1\ \C
\end{align}
Soal SBMPTN 2017 No.12
Diberikan dua fungsi rasional $y=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Jika diketahui kedua kurva memiliki sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak $4$ satuan, maka $a= \cdots$
$(A)\ 2$
$(B)\ 3$
$(C)\ 5$
$(D)\ 6$
$(E)\ 7$
Hint
Fungsi Rasional $y=\dfrac{ax^{2}+bx+c}{px^{2}+qx+r}$
- Asimtot Mendatar yakni garis $y=\dfrac{a}{p}$
- Asimtot Tegak yakni garis $x=x_{1}$ dan $x=x_{2}$ kalau penyelesaian $px^{2}+qx+r=0$ yakni $x_{1}$ dan $x_{2}$
Dari dua fungsi rasional pada soal $y_{1}=\dfrac{3x^{2}-3x+7}{x^{2}-5x+4}$ dan $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{bx^{2}+2x-3},\ a \gt 0$. Asimtot mendatar $y_{1}$ yakni $y=3$ dan berjarak $4$ satuan dengan asimtot mendatar $y_{2}$, sehingga asimtot mendatar $y_{2}$ yang mungkin yakni $y=-1$ atau $y=7$.
Asimtot tegak $y_{1}$ yakni $x=1$ dan $x=4$, salah satu asimtot tegak $y_1$ merupakan asimtot tegak $y_{2}$ alasannya yakni disampaikan pada soal "kedua kurva memiliki sebuah asimtot tegak yang sama".
Kita pilih asimtot yang sama yakni $x=1$ sehingga pada $y_{2}$ penyebut $bx^{2}+2x-3$ yakni $0$ untuk $x=1$.
$bx^{2}+2x-3=0$
$b(1)^{2}+2(1)-3=0$
$b-1=0$
$b=1$
Karena $b=1$ maka $y_{2}=\dfrac{ax^{2}-3x+2}{x^{2}+2x-3}$ dan asimtot mendatar yakni $y= \dfrac{a}{1}=a$.
Nilai $y=a$ yang memenuhi pada pilihan yakni $7$ $\E$
Soal SBMPTN 2017 No.13
Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$
$(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$
$(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Hint
Untuk mendapat turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan hukum rantai, yaitu:
$f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$
Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$
Misal $u=sin\ x$
$\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$
Soal:$f(x)=sin(u^{2})$
Misal $v=u^{2}$
$\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$
Soal:$f(x)=sin(v)$
$\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$
\begin{split}
f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\
& =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\
& =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\
& =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\
& = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)\ \E\\
\end{split}
Soal SBMPTN 2017 No.14
Jika garis singgung dari $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ dititik $x=\pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ adalah...
$(A)\ -\dfrac{1}{4}\pi$
$(B)\ -\dfrac{1}{2}\pi$
$(C)\ -\pi $
$(D)\ \dfrac{1}{2}\pi $
$(E)\ \pi$
Hint
Untuk soal ini, fungsi $f(x)=\dfrac{x}{x^{2}cos\ x}$ tampaknya tidak terlalu diperhitungkan alasannya yakni dari kalimat garis singgung memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$ artinya $(\pi,0)$ akan memenuhi untuk garis singgung kurva dan garis $y=x+c$.
Karena $(\pi,0)$ berlaku untuk $y=x+c$ maka $0=\pi+c$, diperoleh nilai $c=-\pi$ $\C$
Soal SBMPTN 2017 No.15
Di dalam kotak I terdapat $12$ bola putih dan $3$ bola merah. Di dalam kotak II terdapat $4$ bola putih dan $4$ bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil $2$ bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil $1$ bola merah yakni ...
$(A)\ 0,04$
$(B)\ 0,10$
$(C)\ 0,16$
$(D)\ 0,32$
$(E)\ 0,40$
Hint
Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih atau dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih
Kasus I: dari kotak I terambil satu merah dan satu putih dan dari kotak II terambil keduanya putih.
Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yakni $\dfrac{3}{15}\cdot\dfrac{12}{15}+\dfrac{12}{15}\cdot\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{25}$
Dari kotak II terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yakni $\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{4}$
Sehingga peluang terjadinya kasus pertama yakni $\dfrac{8}{25} \cdot \dfrac{1}{4}= \dfrac{2}{25}$
Kasus II: dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih.
Dari kotak I terambil keduanya putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yakni $\dfrac{12}{15}\cdot \dfrac{12}{15}=\dfrac{16}{25}$
Dari kotak II terambil satu merah satu putih: Jika dalam kalimat bisa kita tuliskan "putih pada pengambilan pertama dan merah pada pengambilan kedua atau merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua" secara matematik bisa kita tuliskan peluangnya yakni $ \dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{2}{4}$
Sehingga peluang terjadinya kasus kedua yakni $\dfrac{16}{25} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{25}$
Makara peluang yang terambil 1 bola merah yakni peluang kasus pertama atau peluang kasus kedua $\dfrac{2}{25}+\dfrac{8}{25}=\dfrac{10}{25}=0.4$ $\E$
Jika ada alternatif pembahasan yang perlu kita diskusikan, mari disampaikan😊😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Belajar pertidaksamaan Bentuk akar;
0 Response to "Sbmptn 2017 Matematika Saintek Arahan 106 [Soal Dan Pembahasan]"
Post a Comment