Belajar Induksi Matematika [Soal Dari Buku Siswa Matematika Kurikulum 2013]

Soal Induksi Matematika yang kita diskusikan berikut diambil buku matematika wajib kurikulum 2013 kelas XI $(sebelas)$. Pada latihan uji kompetensi 1.2 ada sebanyak 15 soal latihan, yang kita diskusikan disini yaitu soal latihan untuk nomor 6 hingga dengan nomor 15.

Jika ingin membaca klarifikasi sederhana ihwal pembuktian dengan induksi matematika sanggup dibaca pada materi diskusi sebelumnya yaitu Belajar Induksi Matematika Pada Kurikulum 2013.

6. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}$$=\frac{1\cdot \left (1+3 \right )}{4\cdot \left (1+1 \right )\cdot\left (1+2 \right )}$
$P\left ( 1 \right )$$\frac{1}{6}$$=\frac{1}{6}$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}$$=\frac{2\cdot \left (2+3 \right )}{4\cdot \left (2+1 \right )\cdot\left (2+2 \right )}$
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{1}{6}+\frac{1}{24}$$=\frac{10}{48}$
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{8}{48}+\frac{2}{48}$$=\frac{10}{48}$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{k\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}$$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}$

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+1+1 \right )\cdot\left (k+1+2 \right )}$$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+1+3 \right )}{4\cdot \left (k+1+1 \right )\cdot\left (k+1+2 \right )}$
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$

$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
$=\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{k\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}+\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$

Dengan memanfaatkan keberlakuan sebelumnya ketika $n=k$, kita peroleh persamaan;
$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}+\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )\cdot \left (k+3 \right )+4}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{k^{3}+6k^{2}+9k+4}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
hingga pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$ yaitu benar $(berlaku)$

7. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ yaitu bilangan asli

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$x^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$x-1$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$x^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( n \right )$:$x^{k}-1$ habis dibagi oleh $x-1$

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $x^{n}-1$
$=x^{k+1}-1$
$=x^{k} \cdot x^{1}-1$
$=x^{k} \cdot x-1$$-x+x$
$=x^{k} \cdot x-x+x-1$
$=x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$
Jika $\left (x^{k}-1 \right )$ yaitu kelipatan $\left (x-1 \right )$ maka $x\left (x^{k}-1 \right ) $ yaitu kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Jika $x\left (x^{k}-1 \right ) $ dan $\left (x -1 \right ) $ yaitu keliapatan $\left (x-1 \right ) $ maka $x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$ yaitu kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ bilangan orisinil yaitu benar $(berlaku)$.

8. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ yaitu $3$, $n$ bilangan asli

Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya yaitu 3' untuk menuntaskan duduk perkara ini konsepnya sama dengan duduk perkara 'habis dibagi 3'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$n^{3}+3n^{2}+2n$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{3}+3 \cdot 1^{2}+2 \cdot 1 $
$P\left ( 1 \right )$:$1+3+2$
$P\left ( 1 \right )$:$6$ salah satu faktornya yaitu $3$

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2 $
$P\left ( 2 \right )$:$8+12+4$
$P\left ( 2 \right )$:$24$ salah satu faktornya yaitu $3$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya yaitu $3$.

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $n^{3}+3n^{2}+2n$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=k^{3}+3k^{2}+3k+1+3k^{2}+6k+3+2k+2$
$=k^{3}+6k^{2}+11k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3k^{2}+9k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$

Karena $k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya yaitu $3$ dan $3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ yaitu kelipatan $3$ maka $=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ salah satu faktornya yaitu $3$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ yaitu $3$, $n$ bilangan orisinil yaitu benar $(berlaku)$.

9. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ yaitu $5$, $n$ bilangan asli

Alternatif Pembahasan:

Hint

Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya yaitu 5' untuk menuntaskan duduk perkara ini konsepnya sama dengan duduk perkara 'habis dibagi 5'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2^{2n-1}+3^{2n-1}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2^{2 \cdot 1-1}+3^{2 \cdot 1-1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2^{1}+3^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$5$ salah satu faktornya yaitu $5$

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{2 \cdot 2-1}+3^{2 \cdot 2-1}$
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3^{3}$
$P\left ( 2 \right )$:$35$ salah satu faktornya yaitu $5$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$2^{2k-1}+3^{2k-1}$ salah satu faktornya yaitu $5$.

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $2^{2n-1}+3^{2n-1}$
$=2^{2\left (k+1 \right )-1}+3^{2\left (k+1 \right )-1}$
$=2^{2k+2-1}+3^{2k+2-1}$
$=2^{2k+1}+3^{2k+1}$
$=2^{2k} \cdot 2^{1}+3^{2k} \cdot 3^{1} $
$=2^{2k} \cdot 2+3^{2k} \cdot 3 $
$=2^{2k} \cdot 2^{-1}\cdot 2^{2}+3^{2k} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{2} $
$=2^{2k-1} \cdot 4+3^{2k-1} \cdot 9 $
$=2^{2k-1} \left ( 5-1 \right )+3^{2k-1} \left ( 10-1 \right ) $
$=5 \cdot 2^{2k-1}-\cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5 \cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-2^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$

Karena $\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya yaitu $5$ dan $5 \left( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )$ yaitu kelipatan $5$ maka $=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya yaitu $5$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ yaitu $5$, $n$ bilangan orisinil yaitu benar $(berlaku)$.

10. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$41^{n}-14^{n}$ yaitu kelipatan $27$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$41^{n}-14^{n}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$41^{1}-14^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$27$
$P\left ( 1 \right )$:$27$ salah satu faktornya yaitu $27$

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$41^{2}-14^{2}$
$P\left ( 2 \right )$:$1681-196$
$P\left ( 2 \right )$:$1485$ salah satu faktornya yaitu $27$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$41^{k}-14^{k}$ yaitu kelipatan $27$.

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $41^{n}-14^{n}$
$=41^{\left (k+1 \right )}-14^{\left (k+1 \right )}$
$=41^{k} \cdot 41^{1}-14^{k} \cdot 14^{1}$
$=41^{k} \cdot 41-14^{k} \cdot 14$
$=41^{k} \left ( 27+14 \right )-14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \cdot 41^{k} -14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$

Karena $14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ yaitu kelipatan $27$ dan $27 \cdot 41^{k}$ yaitu kelipatan $27$ maka $=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ yaitu kelipatan $27$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$41^{n}-14^{n}$ yaitu kelipatan $27$ yaitu benar $(berlaku)$.

11. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$4007^{n}-1$ habis dibagi $2003$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$4007^{n}-1$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$4007^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$4006$ habis dibagi $2003$

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$4007^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.049-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.048$ habis dibagi $2003$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$4007^{k}-1$ habis dibagi $2003$.

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $4007^{n}-1$
$=4007^{k+1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007^{1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007-4007+4006$
$=4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$

Karena $\left ( 4007^{k}-1 \right )$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )$ juga habis dibagi $2003$ dan $4006$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$ habis dibagi $2003$
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$4007^{n}-1$ yaitu kelipatan $2003$ yaitu benar $(berlaku)$.

12. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{1+2}+2003^{2+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{3}+2003^{3}$ habis dibagi $4005$

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2002^{2+2}+2003^{4+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{4}+2003^{5}$ tidak habis dibagi $4005$

$\therefore P\left ( 2 \right )$ tidak berlaku atau tidak benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=2$ tidak benar atau tidak berlaku maka
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$ tidak berlaku atau tidak benar

13. Diberikan $a > 1$, dengan induksi matematika buktikan bahwa $an > 1$, dengan $n$ bilangan asli.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$a^{n}>1$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$a^{1}>1$
$P\left ( 1 \right )$:$a>1$ untuk $a>1$ berlaku atau benar

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$a^{2}>1$
$P\left ( 2 \right )$:$a^{2}>1$ untuk $a>1$ berlaku atau benar

$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$a^{k}>1$ untuk $a>1$ berlaku atau benar

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $a^{n}$
$=a^{k+1}$
$=a^{k} \cdot a^{1}$

Dari sifat ketaksamaan kalau $a>b$ dan $x>y$ maka $a \cdot x > b \cdot y $. Sifat ketaksamaan kita terapkan dengan mengambil hipotesis langkah I yaitu $a^{1}>1$ dan langkah II yaitu $a^{k}>1$ maka kita peroleh $a^{1} \cdot a^{k} > 1 \cdot 1 $.
$a^{1} \cdot a^{k} > 1 $
$a^{k+1} > 1 $

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$a^{n}>1$ untuk $a>1$ berlaku atau benar

14. Diketahui $0 < a < 1$, dengan induksi matematika buktikan $0 < a^{n} < 1$, dengan $n$ bilangan lingkaran positif.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ yaitu proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$0 < a^{n} < 1$

Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$0 < a^{1} < 1$
$P\left ( 1 \right )$:$0 < a < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar

$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.

kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$0 < a^{2} < 1$
$P\left ( 2 \right )$:$0 < a^{2} < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar

$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.

Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ yaitu benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$0 < a^{k} < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar

Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $0 < a^{n} < 1$
$=0 < a^{k+1} < 1$
$=0 < a^{k} \cdot a^{1} <1$

Dari sifat ketaksamaan kalau $a < b < c$ dan $x < y < z $ maka $a \cdot x < b \cdot y < c \cdot z $. Sifat ketaksamaan kita terapkan dengan mengambil hipotesis langkah I yaitu $0 < a < 1$ dan hipotesis langkah II yaitu $0 < a^{k} < 1$ maka kita peroleh $0 \cdot 0 < a^{k} \cdot a < 1 \cdot 1$.
$0 \cdot 0 < a^{k} \cdot a < 1 \cdot 1$
$0 < a^{k} \cdot a^{1} < 1$
$0 < a^{k+1} < 1$

Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.

$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Untuk $0 < a < 1$ ketidaksamaan $0 < a^{n} < 1$ berlaku atau benar

15. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{n}$

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk soal ini sudah didiskusikan sebelumnya, silahkan cek pada Belajar Induksi Matematika Pada Kurikulum 2013

Jika ada yang mau ditanyakan ihwal penulisan jawaban/soal yang salah, atau Anda punya wangsit kreatif lain dalam menuntaskan soal-soal yang disajikan, maka tidak usah segan-segan untuk segera memperlihatkan komentar 😏

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara nakal;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: