Matematika Dasar Dimensi Tiga [ Uji Kompetensi Buku Kurikulum 2013]

Ini ada beberapa soal wacana dimensi tiga dari buku kelas XII kurikulum 2013, mungkin kita sanggup diskusikan, alasannya yaitu di sekolah mungkin tidak semua nanti soal ini akan dibahas,... kata Tika kepada Mat.

Baiklah, mana coba kita baca bersama bukunya..., balas Mat, ...lalu Tika coba buka buku Sekolah Menengan Atas Kelas XII Kurikulum 2013 Halaman 25.

Soal Nomor 1:

Perhatikan gambar berikut:

a. Dari Gambar $(a)$, tentukan jarak dari titik $A$ ke $D$.
b. Dari Gambar $(b)$, tentukan jarak titik $P$ terhadap garis $g$.
c. Dari Gambar $(c)$, tentukan jarak titik $P$ pada bidang-$K$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Kalau melihat soal nomor 1 ini tampaknya kita diajak untuk memahami konsep jarak itu, yaitu Jika AB yaitu yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak.

• $(a)$, jarak dari titik $A$ ke $D$ yaitu panjang $AD$ yaitu $AC+CD=$$17\ m +29\ m=46\ m$
• $(b)$, jarak titik $P$ terhadap garis $g$ yaitu panjang $PP_{1}$ alasannya yaitu $P_{1}$ terletak pada garis $g$ dan $PP_{1}\ \perp g$.
• $(c)$, jarak titik $P$ pada bidang-$K$ yaitu $PP_{1}$ alasannya yaitu $P_{1}$ terletak pada garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ dimana garis $RP_{1}$ atau garis $QP_{1}$ terletak pada bidang-$K$ dan $PP_{1} \perp QP_{1}$ atau $PP_{1} \perp RP_{1}$.

Soal Nomor 2:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $9\ cm$. Buat gambaran kubus tersebut. Tentukan langkah memilih jarak titik $F$ ke bidang $BEG$. Kemudian hitunglah jarak titik $F$ ke bidang $BEG$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Pertama kita pastinya harus sanggup menggambar kubus $ABCD.EFGH$ dan bidang $BEG$

Langkah-langkah memilih jarak titik $F$ ke bidang $BEG$, kurang lebih sanggup kita lakukan menyerupai berikut ini;

• Pertama, kita tarik garis pada bidang $BEG$ misalkan kita sebut garis $BB'$.
• Kedua, kita tarik garis dari $F$ sehingga tegak lurus pada garis $BB'$ misalkan kita sebut garis $FF'$.
• Ketiga, alasannya yaitu $FF' \perp BB'$ maka jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu panjang $FF'$.

Untuk menghitung jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu panjang $FF'$, kita membutuhkan beberapa data tambahan, antara lain;
Karena $\triangle BEG$ yaitu samakaki maka $BB' \perp EG$ dan $B'$ yaitu titik tengah $EG$,
sehingga berlaku $BB'=\sqrt{BG^{2}-B'G^{2}}$
$BB'=\sqrt{(9\sqrt{2})^{2}-(\frac{9}{2}\sqrt{2})^{2}}$
$BB'=\sqrt{162-\frac{81}{2}}$
$BB'=\sqrt{\frac{324}{2}-\frac{81}{2}}$
$BB'=\sqrt{\frac{243}{2}}$
$BB'=\frac{9}{2}\sqrt{6}$

Coba perhatikan $\triangle BFB'$ yaitu segitiga siku-siku di $F$, sehingga kita sanggup menghitung luasnya denga cara;
$[BFB']=\frac{1}{2} \times BF \times FB'$
$[BFB']=\frac{1}{2} \times 9 \times \frac{9}{2} \sqrt{2}$
$[BFB']=\frac{81}{4} \sqrt{2}$

Luas $\triangle BFB'$ sanggup juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[BFB]=\frac{1}{2} \times BB' \times FF'$
$[BFB]=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}\sqrt{6} \times FF'$
$\frac{81}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}\sqrt{6} \times FF'$
$\frac{81}{4}\sqrt{2}=\frac{9}{4}\sqrt{6} \times FF'$
$81\sqrt{2}=9\sqrt{6} \times FF'$
$9\sqrt{2}=\sqrt{6} \times FF'$
$FF'=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
$FF'=\frac{9}{\sqrt{3}}$
$FF'=3\sqrt{3}$

Jarak titik $F$ ke bidang $BEG$ yaitu $3 \sqrt{3}$.

Sebagai catatan; kalau panjang rusuk kubus di rubah panjangnya misal jadi $a$, maka jarak titik ke bidang dengan posisi sama menyerupai soal diatas yaitu $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.

Soal Nomor 3:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$. Jika titik $P$ terletak pada perpanjangan $AB$ sehingga $PB = 2a$, dan titik $Q$ pada perpanjangan $FG$ sehingga $QG = a$.
a. Buatlah gambaran dari duduk kasus di atas.
b. Tentukan $PQ$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita gambarkan gambaran dari duduk kasus diatas kurang lebih menyerupai berikut ini;

Untuk menghitung $PQ$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Titik potong perpanjangan garis $EF$ dengan garis yang tegak lurus $AP$ di $P$ kita misalkan Titik $R$. Lalu kalau kita hubungkan titik $P,\ Q, R$ maka akan kita peroleh segitiga $PQR$ yang siku-siku di $R$.

$PQ=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}}$
dimana $PR=a$ dan $QR=\sqrt{QF^{2}+FR^{2}}$
$QR=\sqrt{(2a)^{2}+(2a)^{2}}$
$QR=\sqrt{8a^{2}}$
$QR=2a\sqrt{2}$

$PQ=\sqrt{PR^{2}+QR^{2}}$
$PQ=\sqrt{a^{2}+(2a\sqrt{2})^{2}}$
$PQ=\sqrt{a^{2}+8a^{2}}$
$PQ=\sqrt{9a^{2}}$
$PQ=3a$

Soal Nomor 4:

Panjang setiap bidang empat beraturan $T.ABC$ sama dengan $16\ cm$. Jika $P$ pertengahan $AT$ dan $Q$ pertengahan $BC$, tentukan $PQ$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita coba ilustrasikan duduk kasus diatas, kurang lebih menyerupai berikut ini;

Titik $P$ dan $Q$ merupakan titik tengah $AT$ dan $BC$ pada bidang empat beraturan, sehingga kita peroleh $\triangle CPT$ yang siku-siku di $P$ sehingga berlaku;
$CP=\sqrt{CT^{2}-TP^{2}}$
$CP=\sqrt{16^{2}-8^{2}}$
$CP=\sqrt{256-64}$
$CP=\sqrt{192}$
$CP=8\sqrt{3}$

Pada $\triangle PQC$ yang siku-siku di $Q$, berlaku;
$PQ=\sqrt{CP^{2}-CQ^{2}}$
$PQ=\sqrt{(8\sqrt{3})^{2}-8^{2}}$
$PQ=\sqrt{192-64}$
$PQ=\sqrt{128}$
$PQ=8\sqrt{2}$

Soal Nomor 5:

Perhatikan gambar kubus $ABCD.EFGH$. Tentukan jarak titik $H$ ke $DF$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung jarak titik $H$ ke $DF$ kita perlu beberapa garis bantu, antara lain;
Kita tarik garis dari $H$ yang tegak lurus ke $DF$, misal kita sebut $HH'$.
Segitiga $HDF$ yaitu segitiga siku-siku di $H$ sehingga:
$[HDF] =\frac{1}{2} \times HD \times HF$
$[HDF] =\frac{1}{2} \times 6 \times 6=18$

Luas segitiga $HDF$ sanggup juga kita hitung dengan cara;
$[HDF] =\frac{1}{2} \times DF \times HH'$
$18 =\frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times HH'$
$HH'=\frac{18}{3\sqrt{3}}$
$HH'=9\sqrt{2}$

Karena $HH'$ tegak lurus dengan $DF$ maka jarak titik $H$ ke $DF$ yaitu $9\sqrt{2}$

Soal Nomor 6:

Dalam kubus $ABCD.EFGH$ titik $S$ yaitu titik tengah sisi $CD$ dan $P$ yaitu titik tengah diagonal ruang $BH$. Tentukan perbandingan volum limas $P.BCS$ dan volum kubus $ABCD.EFGH$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Untuk menghitung perbandingan volume kubus dengan limas, mungkin kita butuh gambaran kubus $ABCD.EFGH$ dan limas $P.BCS$ sanggup kita gambarkan kurang lebih menyerupai berikut ini;

Karena pada soal panjang rusuk kubus tidak ditentukan, kita misalkan panjang rusuk kubus $AB=2a$.
Volume kubus yaitu $V_{k}=(2a)^{3}=8a^3$

Volume Limas yaitu $\frac{1}{3} \times \text{luas alas} \times \text{tinggi}$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times [BCS] \times PP'$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} BC \times CS \times PP'$
$V_{l}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} 2a \times a \times a$
$V_{l}=\frac{1}{3} a^{3}$

Perbandingan Volume Kubus dan Limas adalah:
$V_{k}:V_{l}=8a^3:\frac{1}{3} a^{3}$
$V_{k}:V_{l}=8:\frac{1}{3}$
$V_{k}:V_{l}=24:1$

Soal Nomor 7:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $S$ merupakan proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$.Tentukan jarak titik $A$ ke titik $S$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar diatas kurang lebih menyerupai berikut ini;

Titik $S$ yaitu hasil proyeksi titik $C$ pada bidang $AFH$ sehingga $SC$ tegak lurus pada bidang $AFH$. Garis $AS$ terletak pada bidang $AFH$ maka $AS$ tegak lurus $SC$ secara simbol sanggup kita tuliskan $AS \perp SC$.

Dari kumpulan gosip diatas kini kita coba hitung panjang $AS$,
Coba perhatikan $\triangle ACE$ yaitu segitiga siku-siku di $A$, sehingga kita sanggup menghitung luasnya denga cara;
$[ACE]=\frac{1}{2} \times AC \times AE$
$[ACE]=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a$
$[ACE]=\frac{1}{2} a^{2}\sqrt{2}$

Luas $\triangle ACE$ sanggup juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[ACE]=\frac{1}{2} \times CE \times AS$
$[ACE]=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS$
$a^{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times AS$
$2a^{2}\sqrt{2}=a\sqrt{2} \times AS$
$AS=\frac{2a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}$
$AS=\frac{2a^{2}}{a}$
$AS=2a$

Soal Nomor 8:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a\ cm$. $P$ dan $Q$ masing-masing merupakan titik tengah $AB$ dan $CD$, sedangkan $R$ merupakan titik potong $EG$ dan $FH$. Tentukan jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih menyerupai berikut ini;

Untuk menghitung jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ kita membutuhkan beberapa gosip tambahan, antara lain;
Titik tengah $EH$ kita sebut $S$, dan titik tengah $PQ$ kita sebut $T$.
Titik $R$ kita proyeksikan ke bidang $EPQH$ dan balasannya terletak pada garis $ST$, kita sebut titik $R'$ sehingga $RR'$ tegak lurus dengan $ST$.

Karena $RR'$ tegak lurus dengan $ST$ dan $ST$ berada pada bidang $EPQH$ maka jarak titik $R$ ke $EPQH$ yaitu $RR'$.

Sekarang kita coba menghitung $RR'$ dengan dukungan $\triangle TRS$
Coba perhatikan $\triangle TRS$ yaitu segitiga siku-siku di $R$, sehingga kita sanggup menghitung luasnya denga cara;
$[TRS]=\frac{1}{2} \times TR \times RS$
$[TRS]=\frac{1}{2} \times 2a \times a$
$[TRS]=a^{2}$

Luas $\triangle TRS$ sanggup juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[TRS]=\frac{1}{2} \times TS \times RR'$

$TS^{2}=TR^{2}+RS^{2}$
$TS^{2}=(2a)^{2}+a^{2}$
$TS^{2}=4a^{2}+a^{2}$
$TS^{2}=5a^{2}+$
$TS=a\sqrt{5}$

$[TRS]=\frac{1}{2} \times TS \times RR'$
$a^{2}=\frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times RR'$
$2a^{2}=a\sqrt{5} \times RR'$
$RR'=\frac{2a^{2}}{a\sqrt{5}}$
$RR'=\frac{2}{5}a\sqrt{5}$

Jarak titik $R$ ke bidang $EPQH$ yaitu $\frac{2}{5}a\sqrt{5}$

Soal Nomor 9:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $4\ cm$. $P$ titik tengah $EH$. Tentukan jarak titik $P$ ke garis $CF$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih menyerupai berikut ini;

Untuk menghitung jarak titik $P$ ke garis $CF$, kita perlu beberapa gosip tambahan, antara lain;
Titik $P$ kita proyeksikan ke garis $CF$, misal kita sebut titiknya yaitu $P'$ sehingga $PP'$ tegak lurus $CF$, alasannya yaitu $PP' \perp CF$ maka jarak titik $P$ ke garis $CF$ yaitu panjang $PP'$.

Sekarang kita coba menghitung $PP'$ dengan dukungan $\triangle PFC$
Coba perhatikan $\triangle PFC$ kita sanggup menghitung luasnya denga cara Rumus Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Ketiga Sisi;
$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
dimana $s=\frac{1}{2} \times \text{keliling}\ \triangle PFC$
$s=\frac{1}{2}(PF+CP+CF)$
Dengan memakai teorema phytagoras kita sanggup menghitung panjang ketiga sisi $\triangle PFC$,
$PF=2\sqrt{5}=a$; $CP=6=b$ dan $CF=4\sqrt{2}=c$
$s=\frac{1}{2}(2\sqrt{5}+6+4\sqrt{2})$
$s=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}$
$s-a=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=3+2\sqrt{2}-\sqrt{5}$
$s-b=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-6=\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3$
$s-c=\sqrt{5}+3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{5}+3-2\sqrt{2}$

$[PFC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$[PFC]=\sqrt{(\sqrt{5}+3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{2}-3)(\sqrt{5}+3-2\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{((3+2\sqrt{2})^{2}-5)(5+3\sqrt{5}-2\sqrt{10}+2\sqrt{10}+6\sqrt{2}-8-3\sqrt{5}-9+6\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{(9+12\sqrt{2}+8-5)(-12+12\sqrt{2})}$
$[PFC]=\sqrt{(12\sqrt{2}+12)(12\sqrt{2}-12)}$
$[PFC]=\sqrt{288-144}$
$[PFC]=\sqrt{144}=12$

Luas $\triangle PFC$ sanggup juga kita hitung luasnya dengan cara;
$[PFC]=\frac{1}{2} \times CF \times PP'$
$[PFC]=\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times PP'$
$12=2\sqrt{2} \times PP'$
$PP'=\frac{12}{2\sqrt{2}}$
$PP'=3\sqrt{2}$

Jarak titik $P$ ke garis $CF$ yaitu $3\sqrt{2}$

Soal Nomor 10:

Panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ yaitu $6\ cm$. Tentukan jarak titik $C$ dengan bidang $BDG$.

Alternatif Pembahasan:

Hint

Jika kita ilustrasikan gambar soal diatas kurang lebih menyerupai berikut ini;

Dengan memperhatikan gambar diatas, duduk kasus ini sama dengan duduk kasus soal nomor 2, jadi kalau untuk menghitungnya dengan terpenrinci coba ikuti langkah-langkah pada soal nomor 2.

Jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ yaitu $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$ dengan $a$ adalh panjang rusuk, sehingga jarak titik $C$ ke bidang $BDG$ yaitu $2 \sqrt{3}$.

Sebagai catatan; Jika ingin melihat klarifikasi jarak titik ke bidang dengan posisi sama menyerupai soal diatas yaitu $\frac{1}{3} a \sqrt{3}$. Penjelasannya silahkan simak di Pertanyaan Tentang Jarak Titik ke Bidang [Geometri] atau Alat Peraga Rangka Bangun Ruang Terbuat Dari Kertas.

Sudah jawaban semua nich.. teriak Mat puas kepada Tika,..
Iya sebentar saya coba buatkan teh dan goreng pisang supaya tenagamu pulih kembali,... balas Tika....

Betul-betul potong Ema, Mat tampaknya sudah kelelahan dan saya harus coba baca-baca kembali apa yang di tulis Mat ini, alasannya yaitu saya belum sepenuhnya mengerti, tetapi paling tidak sudah ada pencerahan sedikit wacana jarak titik ke titik, jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang.

Sampai ketemu besok teman-teman, kalau saya nanti ada hambatan kita diskusikan kembali iya, tutup Ema.

UPDATE: Kumpulan Soal dan modul SBMPTN [Saintek-Soshum-TPA] dan STAN 😊 Silahkan didownload dan dipelajari, terkhusus bagi pelajar yang mau sukses SBMPTN atau UN tanpa bimbingan: [Download Disini]

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on Google+

Share on LinkedIn

Subscribe to receive free email updates: